Dos números famosos: pi y phi   (pronúnciese fi)

    Todos los números son iguales sin distinción de tamaño, forma o universo en el que vivan. El cuatro, el siete, el cinco octavos o el 2’37453249... tienen la misma importancia y derechos. Pero algunos han tenido más suerte que otros. El número π (pi), por ejemplo, conoció un día a la circunferencia y desde entonces han mantenido una estrecha relación que dura ya millones de años. La circunferencia comenzó a aparecer por todos lados: La Tierra, el Sol, las naranjas de Valencia y por si fuese poco, va el hombre e inventa la rueda. La fama de la circunferencia arrastró al número π y, desde entonces, ya nunca ha vuelto a salir de nuestras vidas. Pero éste no es un caso único y otros números han alcanzado también la fama. Los griegos de la época clásica buscaron y buscaron hasta encontrar a φ, que fue considerado por todos como la proporción más perfecta y, por tanto, el ideal de belleza. Pronto fue utilizado por unos y otros y hasta se descubrió que existía en la naturaleza: en la flor del naranjo, en las espirales formadas por las pipas de los girasoles y en el árbol genealógico de las abejas. Hoy día aparece hasta en el carné de identidad.

1.- El numero π

    El número π se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Los habitantes de Egipto y Mesopotamia (hace más de 4000 años) ya utilizaban aproximaciones bastante buenas de nuestro famoso número. En Egipto se utilizó el valor 256/81 ≈ 3,16, y en Mesopotamia 25/8 = 3,125.

    El primero en descubrir un método para calcular su valor fue Arquímedes de Siracusa (abajo) que vivió durante el siglo III a. C. Sus avanzados métodos y su gran ingenio le llevaron a concluir que el valor de π era aproximadamente 22/7 ≈ 3,14286. Encontró además las fórmulas para el área del círculo (π·r2) y el volumen de la esfera. (4·π·r3/3)

    A partir del siglo XVII empieza una carrera imparable por calcular π con precisión. En 1615, Van Ceulen calcula 35 cifras decimales, Machin en 1706, 100; Shanks en 1874, 527; Smith y Wrench en 1949, 1120. Las 100,000 cifras se alcanzan en 1961, el millón en 1973, los mil millones en 1989. El 20 de septiembre de 1999, los profesores Kanada y Takahashi de la Universidad de Tokio alcanzan la marca de 206,158,430,000 cifras decimales, tras 83 horas de cálculos con ayuda de un superordenador. Así comienza nuestro insigne amigo:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862...

    Dos de los momentos que merece la pena destacar en la biografía del número π son: primero, en 1761, cuando Johann Heinrich Lambert demuestra que es irracional (no puede expresarse como una fracción) y segundo, en 1882, cuando Ferdinand von Lindemann prueba que π es trascendente. Esto último implica entre otras cosas la imposibilidad de cuadrar el círculo. El problema, planteado por los griegos de la época clásica, se había resuelto por fin más de 2000 años después.

    Curiosidades: a) Tsu Chung Chi, matemático chino del siglo V, encontró para π la aproximación de 355/113. No sería mejorado en occidente este valor hasta finales del siglo XVI. 
b) Los pies de un elefante tienen forma circular. Multiplica el diámetro de su pie por 2π y el resultado es la altura del elefante.

2.- El número φ   (phi - se lee fi)

    El número φ ha sido ampliamente utilizado en pintura, escultura y arquitectura. Su valor exacto es igual a la solución positiva de la ecuación x2 – x – 1 = 0, que es ( 1+ √ 5  ) / 2 ≈ 1,6180339887498948. Se le conoce con el nombre de sección áurea, número de oro o divina proporción. Este número es sinónimo de equilibrio y armonía, de ahí que haya sido usado con frecuencia en el mundo del arte. En el hombre de Vitrubio, pintado por Leonardo da Vinci, podemos observar que, al dividir la altura del hombre (b) entre la distancia del ombligo al extremo del pie (a), obtenemos el número de oro. 

    Un ejemplo de rectángulo áureo en la arquitectura es el alzado del Partenón griego. El cociente entre la anchura y la altura da como resultado el número de oro:  φ = AB/CD. Otro ejemplo es la Torre Eiffel, diseñada en base a dos rectángulos áureos y varias proporciones áureas entre sus plantas. 


φ = AB/CD. También φ = AC/AD = DE/AE
Y todavía hay más

    La espiral del Nautilus encaja de forma perfecta dentro de una sucesión de rectángulos áureos. A la espiral obtenida de esta forma se le llama espiral áurea.

     El matemático más notable de la Edad Media fue Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci. En aquellos tiempos, se utilizaba en Europa loa numeración romana y el ábaco. Nuestro protagonista recibe clases de un maestro árabe y aprende a calcular con los numerales indoarábigos, que seguimos utilizando hoy en día (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Después de viajar por Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y el sur de Francia relacionándose eruditos y estudiosos de las matemáticas, regresa a Pisa y escribe diversas obras sobre matemáticas, la más importante de las cuales es el Liber Abaci. En él nos muestra cómo nombrar y escribir los números en el sistema indoarábigo y como hacer operaciones con ellos (fracciones, raíces y problemas de la vida diaria). 

Sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

     La sucesión de Fibonacci fue introducida por primera vez en relación a una pareja de conejos que se iba reproduciendo según unas determinadas reglas. Los términos de la sucesión representarían los conejos que hay a medida que transcurren los meses. Aunque el ejemplo de los conejos no se ajusta a la realidad, lo cierto es que hay otros muchos ejemplos que sí lo hacen, relacionados sobre todo con crecimiento de plantas, proporciones en organismos animales y también en algunos ejemplos de reproducción animal. Esta sucesión guarda, sorprendentemente, una estrecha relación con el número áureo. Para comprobarlo prueba a calcular los cocientes 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 ...

Las proporciones de una cara también "explican" su belleza


En una colmena: Un zángano nace de una reina, sin intervención de otro macho. 
La reina nace de la unión de un zángano y una reina. Así 1 zángano tiene 1 madre, 2 abuelos, 3 bisabuelos, 5 tatarabuelos y así sucesivamente.

 
La proporción entre las falanges de los dedos se aproxima a φ

Si divides las sucesivas potencias de φ entre √5 , ¿qué obtienes? ;   φn / √5 = ¿? 

Dos ejemplos más tomados de la naturaleza. El número de espirales que aparecen en las piñas de las coníferas y en los girasoles siempre son términos consecutivos en la sucesión de Fibonacci. Como hemos visto, la sucesión está estrechamente ligada a la divina proporción.

Citando a φ

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, y el otro la división de un segmento en media y extrema razón, llamada sección áurea (Johannes Kepler, 1571-1639)

A ti, cárcel feliz de la retina, / áurea sección, celeste cuadratura, / 
misteriosa fontana de mesura / que el Universo armónico origina. (Rafael Alberti, 1946)

José María Gómez Aroca.
Departamento de Matemáticas

 


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