Las matemáticas de la antigüedad estaban basadas principalmente en la geometría. Según nos cuenta Herodoto, la geometría tuvo su origen en las técnicas de medición de los egipcios, de donde más tarde pasaría a Grecia. Los árabes fueron los herederos de la cultura helénica y los "Elementos de Euclides" uno de los textos más estudiados. Al-Khwarizmi, en su tratado de álgebra, nos explica la forma de resolver una ecuación de segundo grado sin conocer la fórmula que utilizamos hoy en día, ya que por aquel entonces, la forma de mirar las matemáticas era diferente.
Como ejemplo, veamos como resolver la ecuación x2 + 10x = 39
En primer lugar, la ecuación siempre se escribe de forma que todos los términos queden positivos, ya que representan longitudes o áreas de figuras. No puede haber una longitud positiva.
El problema de resolver la ecuación, equivale a encontrar el lado del cuadrado amarillo de la figura de abajo. El primer término de la ecuación es x^2; es decir, el área del cuadrado amarillo. La suma de los cuatro rectángulos de color violeta es 4·2'5·x, o bien, 10x, que es el segundo término de la ecuación. El área de los cuadrados verdes es 4·(2'5·2'5) = 25.
El área del cuadrado completo es (x+5)2. Este debe ser igual que la suma de las nueve partes que lo forman; es decir,
(x+5)2 = x2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos que x + 5 = 8
Y por tanto, x = 3.
Al-Khwarizmi sólo considera la solución positiva porque lo que busca es una longitud, pero obsérvese que si tomamos ±8 para la raíz de 64 se obtienen las dos soluciones reales.
Otra ecuación resuelta por el mismo método (o muy similar) lo conocemos hoy en día como "completar el cuadrado", que se utiliza en muchas ocasiones para el estudio de cónicas, integración, etc.
x2 + 6x = 7
( x + 3 )2 = x2 + 6x + 9 = 7 + 9 = 16
x + 3 = 4 Þ x = 1
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