Arquímedes de Siracusa

Nació : hacia el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia

Murió : en el 212 a.C. en Siracusa, Sicilia

 

Considerado como el científico y matemático más importante de la Edad Antigua, y uno de los más grandes de toda la historia. Su padre Fidias fue astrónomo e influyó de forma notable en su educación. En aquella época, Alejandría estaba considerada como el centro de investigación y estudio más importante del mundo conocido. Arquímedes viajó hasta esta ciudad y estudió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las matemáticas. El resto de su vida la pasó en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con una dedicación y una intensidad tal que...

"... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arquímedes) utilizado para elevar agua, la polea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrostática y la ley de la palanca. Durante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construyó máquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y un sistema de espejos con el que incendió las naves romanas.

"...pero cuando Arquímedes comenzó a maniobrar con sus máquinas, inmediatamente lanzó contra las fuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caían con un ruido y violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatían a cuantos les caían a montones, rompiendo toda formación." (Plutarco)

Aunque todo la anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arquímedes un personaje famoso, sus logros más importantes los consigue en el terreno de las matemáticas. Fue ésta la ciencia que más le interesó y donde consiguió alcanzar las más altas cumbres. Algunos dicen incluso que su interés por sus descubrimientos más prácticos radica en los principios matemáticos que los mantienen. Él mismo se consideró siempre como un geómetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no sólo por los resultados conseguidos, sino por los métodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de su estructura lógica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemática moderna, como por ejemplo, el uso que hizo del método de exhaución de Eudoxo para calcular áreas y volúmenes, que desembocó casi 2000 años más tarde en el cálculo integral.

Arquímedes determinó el volumen de una esfera

                   

"Sus descubrimientos fueron numerosos y admirables; pero se cuenta que le pidió a sus amigos y parientes que, cuando muriera, colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un cilindro, inscribiéndola en la proporción del sólido continente respecto al contenido; esto es, la razón 3:2"
(Plutarco, Vidas Paralelas)

Ir a Arquímedes: Sobre la esfera y el cilindro

 

Mencionamos a continuación, algunas de sus obras más importantes:

1) Sobre el equilibrio de los planos
Donde estudia los centros de gravedad de figuras planas y condiciones de equilibrio de la palanca.

2) Sobre la cuadratura de la parábola
Demuestra que: "Una sección de parábola excede en un tercio al área del triángulo de igual base que la sección y cuyo vértice es el de la parábola". Dicho de otra forma, la superficie de la sección de parábola es igual a cuatro tercios de la superficie del triángulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.

3) El Método (Sobre el método relativo a los teoremas mecánicos)
Donde da a conocer las bases en las que se apoyan sus descubrimientos, como son la teoría de las razones y de las proporciones entre magnitudes geométricas y sobre todo el método de exhaución de Eudoxo.

4) Sobre la esfera y el cilindro
El resultado principal es que dados un cilindro y una esfera inscrita en él, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro. Consigue por lo tanto una forma de obtener el volumen de la esfera a partir del volumen del cilindro. (
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5) Sobre espirales
Un estudio bastante complicado y original donde obtiene diversos resultados sobre las espirales. Se cree que el objetivo que se perseguía era resolver alguno de los grandes problemas de la época, como la cuadratura del circulo o la trisección de un ángulo. (
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6) Sobre los conoides y esferoides
Estudio sobre las figuras geométricas que se obtienen al hacer girar las cónicas.

7) Sobre los cuerpos flotantes
Estudio sobre hidrostática. Se cree que descubrió el principio de la hidrostática cuando estaba bañándose y pensando en el problema que le había propuesto el rey Hierón de Siracusa. Éste había encargado una corona de oro a un artesano y sospechaba que habían sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo la corona en agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido también su peso pudo demostrar que el artesano intentaba engañar al rey. Cuando a Arquímedes se le ocurrió la idea salió rápidamente de la bañera exclamando: ¡Eureka! ¡Eureka!
(que en griego significa "Lo encontré")

8) Sobre la medida del circulo
Donde encuentra la fórmula para el área de un circulo y en un prodigio de cálculo e ingenio para aquellos tiempos, consigue hacer una buena aproximación del número pi inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados en una circunferencia. La acotación que encontró fue

3+10/71 < pi < 3+1/7,

aproximadamente       3'140845... < pi < 3'142857...     (más información)

9) El Arenario
En el que distingue claramente lo infinito de lo muy grande (contando los granos de arena que pueden caber en el Universo) y desarrolla un sistema de numeración con el que se pueden representar tales magnitudes. No olvidemos que el sistema de numeración indo-arábigo no era conocido todavía en la cultura occidental.

 

 

Sobre la medida del círculo

Los geómetras de la época conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, era siempre un valor constante (al que actualmente llamamos pi). En el libro XII de los Elementos de  Euclides, aparece la demostración de que la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, también es una constante. Arquímedes consiguió demostrar que la constante que aparece en este caso también tiene que ver con el (hoy llamado) número pi. El primer paso fue demostrar la siguiente:

PROPOSICIÓN: El área de un polígono regular es (P*a)/2, donde P representa el perímetro y a la apotema del polígono. 
La demostración que hizo es la que todos conocemos actualmente, mediante descomposición del polígono en triángulos congruentes.

A partir de este resultado preliminar consigue demostrar otro mucho más importante.

PROPOSICIÓN: El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.
    Demostración:


Llamamos A al área del círculo y T a la del triángulo. C es la longitud de la circunferencia.

Supongamos que A>T; es decir, A-T>0. Podemos inscribir un polígono en la circunferencia de forma que la diferencia entre sus áreas sea tan pequeña como queramos. Por tanto, existe un polígono inscrito en la circunferencia cuya área es S y tal que A-S<A-T. Sumando S+T-A en cada miembro nos queda que T<S. Por otro lado, también es cierto que S<T porque (P*a)/2 es menor que (C*r)/2, lo cual conduce a una contradicción y A no puede ser mayor que T. De forma análoga se demuestra que T no puede ser mayor que A. Y utilizando las palabras de Arquímedes: "Puesto que entonces el área del círculo no es ni mayor ni menor que el área del triángulo, es igual a ella" q.e.d.

De este resultado se obtiene un importante corolario. Puesto que C = 2*pi*r   y  A = C*r/2, tenemos que A = 2*pi*r*r/2 = pi*r2. Es decir, tenemos una fórmula para el área del círculo, y ésta implica de nuevo a pi. No es de extrañar por tanto, que Arquímedes intentará en la última de las proposiciones de este libro, el dar un valor de pi lo más aproximado posible. Su procedimiento fue muy ingenioso. Comienza inscribiendo y circunscribiendo un hexágono en una circunferencia cualquiera. Es fácil ver que el perímetro del hexágono inscrito es 6*r, y el del circunscrito 4*raíz(3)*r ~ 6'9282*r  (usando el teorema de Pitágoras). Dividiendo ambas expresiones entre 2*r (diámetro) obtenemos que pi está comprendido entre 3 y 3'4641. Pero no queda ahí la cosa. Utilizando las dos formulas siguientes,

P2n = (2*pn*Pn)/(pn+Pn)     y     p2n = raíz(pn*P2n)

donde Pn = perímetro del polígono circunscrito de n lados, pn = perímetro del polígono inscrito de n lados, calcula los perímetros de los polígonos correspondientes de 12, 24, 48 y 96 lados, para obtener al final que,

6336/2017 < pi < 29376/9347

aproximadamente,  3'141298 < pi < 3'142826

aunque por motivos de comodidad usa los valores más sencillos de 3+10/71 y 3+1/7. Sorprende el hecho de que trabajara con valores tan precisos. Para la raíz de 3, por ejemplo, determinó que  265/153 < raíz(3) < 1351/780. Todos estos cálculos son un hecho sin precedentes, de gran dificultad y que nos llenan de admiración.

"...la determinación del perímetro del dodecágono requería obtener un valor numérico de la raíz cuadrada de 3. Con nuestras modernas calculadoras y ordenadores, esto no significa ningún obstáculo, pero en tiempos de Arquímedes, no sólo eran impensables estos artilugios sino que no existía ni siquiera un buen sistema numérico que facilitara estos cálculos." (William Dunham, "Viaje a través de los genios")

No sé si desde entonces o quizás desde antes, el cálculo de pi ha ocupado a muchos eruditos,  científicos y matemáticos. Los algoritmos de cálculo han mejorado con los siglos y la llegada de los ordenadores ha permitido calcular más cifras y con más rapidez. (Ver el número pi)


Puedes ver una tabla con

Valores aproximados de pi a lo largo de la historia

 y también un listado de

Los 1500 primeros decimales de pi.

 

Sobre la esfera y el cilindro

Se sabía calcular, al menos desde la época de los egipcios, el volumen de prismas y cilindros. Demócrito (~460 a.C. - 360 a.C.) demostró que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del de un prisma de igual base y altura, e igual hizo con el cono respecto del cilindro. Euclides había demostrado en sus "Elementos" que el volumen de dos esferas es entre sí como los cubos de sus diámetros, o como diríamos actualmente, que el volumen de una esfera es proporcional a su diámetro. Arquímedes demostró, una vez más, que esa constante de proporcionalidad estaba muy relacionada con  pi. Por todo ello, está obra está considerada como una de sus cumbres más importantes, y quizás la más apreciada por él mismo, como se puede ver en su epitafio . Una de los resultados más notables del libro es la

PROPOSICIÓN 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su círculo máximo.
La demostración vuelve a ser una doble reducción al absurdo, suponiendo primero que la superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradicción. La técnica empleada es el método de exhaución de Eudoxo; es decir, inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geométricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies había demostrado previamente), y aproximándose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Quedó establecido por lo tanto que S=4*pi*r2.

Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados más importantes del libro,  la

PROPOSICIÓN 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al círculo máximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera. 
La demostración la hace basándose en los volúmenes del cono y del cilindro que había hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la sección correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera. 


La imagen está tomada de http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/lamejor.htm 

Si el corte lo hacemos a una distancia d del punto más alto de la figura, entonces el radio del circulo que aparece en la esfera es la raíz de R2-d2. El radio del circulo que aparece en el cono es d. En el cilindro el radio es R. Por tanto, pi*(R2-d2)+pi*d2=pi*R2. Lo que hoy conocemos como principio de Cavalieri implica que el volumen de media esfera más el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. Como el volumen de este cilindro es pi*r3 y el del cono pi*r3/3, entonces tenemos que el volumen de la esfera completa es 4/3*pi*r3, quod eram demostrandum.

Como corolario de estos resultados obtiene que la relación entre una esfera y el cilindro que la contiene es 2:3, tanto en superficie como en volumen.

 

Sobre espirales

 

 

    El objetivo de Arquímedes al estudiar esta curva fue la resolución de los tres problemas clásicos. La espiral de Arquímedes se define como la curva que describe un punto, moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira con velocidad angular constante. En coordenadas polares (r, q) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente: r=k·q. En base a esto, observamos en la figura anterior que fácilmente puede trisecarse un ángulo, dividiendo simplemente el segmento OP en tres partes iguales y obteniendo a continuación los puntos U y V que resuelven el problema. Lo que más llama la atención es que siendo la geometría griega esencialmente estática, aquí parece haber determinado la tangente a la espiral por medio de consideraciones cinemáticas que recuerdan al moderno cálculo diferencial. Y este cálculo de la tangente es lo que le permitió cuadrar el círculo a partir de la espiral.

 

 

    En la figura superior, la recta que contiene al segmento PQ es tangente a la espiral, y OQ es perpendicular al radio vector OP. Arquímedes demuestra utilizando doble reducción al absurdo que el segmento OQ es igual a la longitud del arco PS. De este teorema se puede deducir fácilmente que la tangente a la espiral en el punto T (corte con el eje de ordenadas) determina sobre el eje de abcisas un segmento igual a la cuarta parte de la longitud del círculo.

 

Bibliografía:

Boyer, Carl B.: Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos, 1992.
De Guzmán, Miguel: La mejor idea de Arquímedes: http://ciencias.unizar.es/~mdg/2003/08edupreunesq/tendencias2000/experimentosdegeometria/lamejor.htm
Dunham, William: Viaje a través de los genios. Editorial Pirámide.
Enciclopedia Micronet, Edición 1998.
Gacetilla Matemática: http://www.arrakis.es/~mcj
Mactutor: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html

 

Por JM

 


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Matemáticas

 

Más de 2000 años han pasado y Arquímedes sigue siendo noticia:

 

Periodismo científico - 12 de junio de 2005

Las aventuras del palimpsesto de Arquímedes

Una fina ráfaga de rayos-X atravesó con cautela un espacio de 23 siglos para iluminar, en más de un sentido, un viejo trozo de piel de oveja que contiene, en una capa tan tenue que sólo la tecnología actual puede sacar a relucir, textos escritos originalmente por Arquímedes, el genial matemático griego que, ahora se sabe, se adelantó a su tiempo casi dos mil años como inventor de una forma personal de cálculo. El escenario fue el Centro del Acelerador Lineal de Stanford, en la universidad del mismo nombre, donde expertos de varias disciplinas han hecho equipo para coronar un proyecto que lleva seis años y que aspira a recuperar, hasta donde sea posible, el texto oculto en un documento de mil años de edad conocido popularmente como el Palimpsesto de Arquímedes.

Reviel Netz, profesor asistente de clásicos y filosofía en la Universidad de Stanford, explica que todo manuscrito es una ventana hacia el pasado, un medio para explorar un mundo perdido. O, mejor aún, un manuscrito es como una sonda planetaria, y en el caso particular de este documento, es "como una sonda enviada a nosotros: una cápsula de tiempo de Arquímedes". Y esta cápsula de tiempo concreta tuvo viajes "especialmente arduos".

Un documento ruinoso

El fragor de la batalla es claramente visible. El Palimpsesto de Arquímedes es un libro de 174 páginas de pergamino, con tapas de madera. Las páginas son viejas, sí, pero además han sido víctimas de cera, pegamento, fuego y hasta los estragos de un hongo morado. Es una verdadera ruina. Abigail Quandt, conservadora de manuscritos y libros raros en el Museo de Arte Walters, agrega que "el pergamino está perforado en las partes donde entraron hongos y se comieron el colágeno; en estas áreas el texto de Arquímedes desapareció por completo".

En muchos sentidos, lo verdaderamente asombroso no es que el libro esté en malas condiciones, sino que exista. Aunque no se tiene certeza de toda su historia, lo que se sabe apunta a un recorrido lleno de vicisitudes.

El Palimpsesto de Arquímedes no contiene escritura autógrafa original del matemático griego. Arquímedes vivió en el siglo III antes de Cristo, y se presume que antes de su muerte alrededor del año 212 antes de nuestra era consignó por escrito sus tratados más importantes. Como era una autoridad en la materia, en los siglos siguientes sus obras fueron copiadas con diligencia, y así ocurrió con este volumen. Según parece, hacia el siglo X, acaso en Constantinopla, un escriba monástico transcribió el texto de alguna fuente anterior, escribiendo con tinta sobre un pergamino de piel de oveja, y luego lo encuadernó en madera.

A esas alturas no había en la Europa cristiana una sola persona capaz de leer y entender el contenido del libro. Las tinieblas de la Edad Media llegaron lejos, y hacia el siglo XII, cuando en el monasterio escasearon los materiales, un monje cristiano no vaciló: desencuadernó el libro de Arquímedes, remojó los pergaminos y los raspó con piedra pómez para borrar lo escrito doscientos años atrás. Luego escribió sobre las páginas renovadas algo más acorde a la vida monacal: un libro de oraciones o Euchologion.

El nuevo libro era lo que se denomina un palimpsesto. La palabra proviene del griego palin, "otra vez", y psao, "raspar". Un palimpsesto es "lo que ha sido vuelto a raspar", y la práctica era relativamente común en los días anteriores al uso difundido de papel. Así pues, la transformación de la obra de Arquímedes en un palimpsesto, que en primera instancia podría juzgarse algo negativo, en realidad lo salvó para la posteridad; el documento quedó "disfrazado" a los ojos de casi todo el mundo. William Noel, jefe del proyecto de conservación y estudio del volumen en el museo Walters, dice que aquel anónimo escriba "probablemente salvó a Arquímedes al disfrazarlo de cristiano".

Peripecias monacales

Se necesitó más que la transformación para salvarlo. La siguiente referencia documentada revela -a través de un ex-libris- que el libro de oraciones formaba parte de la biblioteca de la gran laura de San Sabas, conocida en árabe como Mar Saba, un monasterio en pleno desierto de Judea que fue comprado en 1625 por el Patriarcado Ortodoxo Griego de Jerusalén. Estamos ya en los albores de la Revolución Científica de Galileo, pero el texto de Arquímedes seguía oculto tras los muros monacales de Mar Saba.

En 1839 el reverendo George Croly visitó el monasterio y vio el libro de oraciones en la biblioteca. Ésta aún poseía, a pesar de los siglos, el descuido y las privaciones, más de un millar de importantes manuscritos. Pero por estas fechas, el libro hizo un par de rápidos viajes. Primero, el Patriarcado ordenó reunir en el monasterio del Santo Sepulcro de Jerusalén los acervos de varias bibliotecas, entre ellas la de Mar Saba.

El libro fue llevado luego al Metochion de la Iglesia del Santo Sepulcro. En sentido estricto, el término alude a un mecanismo de administración monacal manejado por los propios monjes, pero también se alude con él a una dependencia administrativa. En el caso del Metochion de la Iglesia del Santo Sepulcro, ésta era una "casa hija" instalada en Constantinopla, y sabemos que en 1846 el libro de oraciones ya estaba alojado ahí.

Ese año, un erudito-aventurero tipo Indiana Jones visitó el Metochion. Constantin von Tischendorf ganó su fama al recuperar para el mundo el Codex Sinaiticus, el más antiguo manuscrito bíblico que contiene todo el Nuevo Testamento. Este académico, que como muchos viajeros de su época no tenía muchos escrúpulos para procurarse documentos antiguos aprovechando la ignorancia de los monjes, visitó el Metochion de Constantinopla y apuntó que en la biblioteca del Patriarca no había nada de interés, "fuera de un palimpsesto que trata de matemáticas". Ya se sabía entonces, pues, que el libro de oraciones tenía bajo sus letras otro texto. Pero Tischendorf, que salió del Metochion con una página del palimpsesto en su mochila, nunca llegó a reconocer su valor. Murió 30 años después, y sus herederos vendieron a Cambridge 44 hojas de otros tantos manuscritos antiguos. Fue hasta 1983 cuando se reconoció en una de estas hojas una página faltante del Palimpsesto de Arquímedes.

Primer descubrimiento

Volviendo a la historia conocida del libro, en 1899 el erudito Athanasios Papadopoulos-Kerameos hizo un inventario de las riquezas manuscritas del Metochion, y anotó entre ellas al libro de oraciones, señalando que contenía bajo el texto litúrgico material de matemáticas en griego.

Entra ahora en la historia del libro el filólogo Johan Ludvig Heiberg, de la Universidad de Copenhague. Este académico había publicado en 1880 una edición monumental de las obras conocidas de Arquímedes, y eventualmente se enteró del catálogo compilado por Papadopulos-Kerameos. Como el listado incluía algo del texto contenido en el palimpsesto, Heiberg identificó de inmediato al autor, preparó sus maletas y en 1806 tuvo ocasión de estudiar el libro en el Metochion de Constantinopla. Fotografió todo lo que pudo y volvió a su país cargado de imágenes. Luego recurrió a su única tecnología, una lupa, y procedió a recuperar, lenta y pacientemente, el texto de Arquímedes. Sus hallazgos le valieron una portada en The New York Times (el 16 de julio de 1907), y fueron la base de una segunda edición de las obras de Arquímedes que publicó entre 1910 y 1915.

Heiberg hizo una segunda visita a Constantinopla en 1908 para estudiar el palimpsesto, y luego los recuentos habituales hablan de una laguna en su historia, que felizmente ya se puede contar al menos parcialmente.

La Primera Guerra Mundial causó toda suerte de desarreglos en Europa y el Medio Oriente. Turquía fue derrotada en 1918 y se inició la disolución del Imperio Otomano; en enero de 1921 Turquía se declaró país soberano, pero ese mismo año tropas griegas casi llegaron a la capital. El Patriarca de la Iglesia Ortodoxa Griega ordenó que los libros y manuscritos del Metochion fueran enviados a la Biblioteca Nacional de Grecia para garantizar su seguridad. De las 890 obras que había catalogado Papadopoulos-Kerameos, sólo 823 llegaron a Atenas. El Palimpsesto de Arquímedes no estaba en la lista.

Los años perdidos

¿Qué había ocurrido? Un funcionario francés llamado Marie Louis Sirieix, otro émulo de Indiana Jones, recorrió Constantinopla en algún momento previo a la mudanza de la biblioteca, y presumiblemente le compró el palimpsesto a uno de los monjes. La operación no quedó registrada, y Sirieix no hizo ruido; se limitó a volver a Francia, conservando el valioso libro en el seno familiar.

Abigail Quandt dice que, además de los daños anteriores causados al palimpsesto, hubo una felonía adicional. Se pintaron, a página entera, imágenes de los cuatro evangelistas: Mateo, Marco, Lucas y Juan. Estas ilustraciones, en estilo bizantino, al parecer se añadieron para dar la impresión de que el libro era más que un libro de oraciones: quizás un Nuevo Testamento. Esto parece sugerir que la familia Sirieix ignoraba entonces el contenido real del palimpsesto. La falsificación debió hacerse después de 1929, pues las imágenes parecen haberse sacado de un libro de láminas que se publicó en ese año.

Pasó el tiempo. Constantinopla, ya lejos de ser el eje del mundo, cambió su nombre por el de Estambul. Pasó la Segunda Guerra Mundial. En 1956, Sirieix murió, y el Palimpsesto de Arquímedes pasó a manos de su hija, Anne Guersan. A principios de la década de 1960, la propietaria y su hijo, Robert Guersan, vieron preocupados que el libro se estaba deteriorando seriamente, así que pidieron consejo a su vecino Jean Bollack, profesor de la Universidad de Lille. Otros consultados fueron el profesor A. Wasserstein y el padre J. Paramelle. Por consejo de ellos, el libro fue enviado a un establecimiento parisino para su restauración.

En un breve recuento de estos tiempos, Patricia Youngblood apunta que "a principios de los 1970, Guersan evaluó por primera vez vender el palimpsesto. Su familia preparó e hizo circular 200 folletos sobre el manuscrito, 100 en francés y 100 en inglés. Los folletos atrajeron muchas expresiones de interés, pero no se produjo una venta a partir de este esfuerzo". Entre las instituciones interesadas estuvieron la Biblioteca Beinecke de Libros Raros, de la Universidad de Yale; Libros Raros y Manuscritos H. P. Kraus, de Nueva York; el Centro de Investigaciones sobre Humanidades de la Universidad de Texas, y la Universidad de Pittsburgh.

Juicio y subasta

A principios de los 1990, la familia Guersan entregó el manuscrito a la casa de subastas Christie's, a título de consignación, para su eventual venta. La empresa se puso a investigar: comparó el documento con las imágenes de Heiberg que se conservan en Dinamarca, y al constatar su autenticidad, estimó que podría obtener de 800 mil a 1.2 millones de dólares. El 13 de agosto de 1998, Christie's avisó al gobierno de Grecia sobre su intención de subastar el Palimpsesto de Arquímedes, y las autoridades griegas pusieron sobre aviso al Patriarcado de la Iglesia Ortodoxa Griega de Jerusalén. El representante de Christie's en Grecia incluso ofreció al gobierno venderle directamente el documento en 400 mil dólares, pero la oferta fue rechazada, al parecer bajo la idea de que no era necesario pagar por algo propio. En vista de ello, en septiembre Christie's anunció públicamente que subastaría el libro el 29 de octubre.

Cinco días antes de la subasta, el ministro de Cultura de Grecia, Evangelos Venizelos, dijo a la prensa que el palimpsesto era propiedad legal del Patriarcado, ya que sus datos indicaban que no existía registro de que el valioso objeto hubiera sido vendido. El Patriarcado inició una acción legal contra Christie's y la familia Guersan para impedir la venta. La empresa de subastas replicó: "El reclamo del Patriarcado nos parece, en el mejor de las casos, una tardía renuncia a las acciones tomadas por sus propios representantes en Constantinopla hace muchas décadas, en circunstancias en las que aparentemente no se conservaron registros detallados".

El 29 de octubre de 1998, las actividades en Christie's empezaron normalmente. El primer punto de la agenda consistió en la lectura de un breve boletín de prensa que decía: "Christie's tiene el placer de informar a sus clientes que la Corte Federal de Nueva York negó anoche una moción del Patriarcado Ortodoxo Griego de Jerusalén para detener la venta, esta tarde, del Palimpsesto de Arquímedes. El juez decretó que bajo las leyes aplicables, nuestro consignatario tiene claramente derecho a vender el manuscrito, y la venta se realizará conforme a lo programado".

La subasta terminó en menos de cinco minutos; la última postura fue de dos millones de dólares, a lo que deben sumarse 202 mil 500 dólares, la comisión de Christie's. El ganador de la puja era Simon Finch, intermediario londinense de 49 años, quien había comprado el manuscrito para un coleccionista privado estadunidense que sigue en el anonimato.

Agotados los procedimientos legales, el 18 de agosto de 1999 el juez Kimba Wood ratificó que la venta era legal. "El Patriarcado nunca formuló alegatos sobre otros manuscritos del Metochion en manos privadas ni anunció la desaparición, pérdida o robo de cualesquiera manuscritos del Metochion", declaró el juez. Añadió que el Patriarcado quiso excusar su falta de acción señalando que "como orden monástica, no se podía esperar que buscara una pintura". Pero la corte replicó que "si el Patriarcado fue capaz de buscar consejo legal con impresionante velocidad para presentar este recurso la noche previa a la subasta de Christie's, pudo haber buscado consejo legal para el Palimpsesto, o al menos hacer algunas indagaciones, en algún punto de los últimos setenta años".

Los últimos años

El propietario del manuscrito se lo prestó al Museo de Arte Walters, con sede en Baltimore, para que ahí se realizaran las tareas de conservación y análisis necesarias para ofrecer el contenido del documento al mundo. Entre junio de 1999 y mayo del 2001, el libro se exhibió al mundo, y se integró un equipo multidisciplinario para recuperar el texto de Arquímedes.

Para este propósito, se organizó un certamen. Los dos finalistas fueron el Instituto Tecnológico de Rochester y la Universidad Johns Hopkins, que a fin de cuentas trabajaron juntos aplicando distintas técnicas (obtención de imágenes multiespectrales, fluorescencia hiperespectral, microscopía confocal, etc.). Estos esfuerzos lograron recuperar alrededor de 80 por ciento del texto. En 2003 un físico de la Universidad de Stanford, Uwe Bergmann, propuso emplear un acelerador de partículas para producir rayos-X sincrotrónicos (más enfocados que los convencionales) y así poder ver detrás de las ilustraciones. La técnica se probó en abril, y a principios de mayo un acelerador de Stanford empezó a bombardear páginas con radiación-X sincrotrónica para descubrir al Arquímedes aún oculto en el palimpsesto. Se espera coronar el proyecto hacia el 2008 con una versión interactiva en DVD de la obra de Arquímedes; sólo entonces volverá el palimpsesto a manos de su anónimo comprador.

 

BBC Mundo - Ciencia y Tecnología - Jueves, 3 de agosto de 2006

Un fax del siglo III a.C.

Una serie de textos escritos por el físico y matemático griego Arquímedes, una de las mentes más notables de la antigüedad, y que habían permanecido ocultos debajo de una serie de imágenes y textos fueron revelados por científicos de EE.UU. 

Utilizando una técnica no destructiva conocida como fluorescencia de rayos X, los investigadores de la Universidad de Stanford fueron capaces de escudriñar a través de estos añadidos para leer el texto que se encontraba por debajo.

El pergamino fabricado con piel de cabra recoje detalles importantes del trabajo de Arquímedes, obra que es considerada como la base de la matemática moderna.

Entre los escritos se halla la única versión en griego que se conoce de su tratado "Sobre los Cuerpos Flotantes", además de la primera copia que ha sobrevivido desde la antigüedad de su "Teoría de los Cuerpos Mecánicos".


No hubo nadie como Arquímedes antes de él. (...) Nada puede ser mejor que poder releer el trabajo de una de las figuras más grandes de la civilización occidental
Will Noel, director del proyecto.
En estos tratados, el matemático nacido en el siglo III antes de Cristo llegó a desarrollar descripciones numéricas del mundo real.

"No hubo nadie como Arquímedes antes de él", dice Will Noel, curador de manuscritos y libros raros del museo de arte Walters, de Baltimore, y director del proyecto.

"Nada puede ser mejor que poder releer el trabajo de una de las figuras más grandes de la civilización occidental".

"La octava maravilla"

Poder descubrir los escritos de Arquímedes presenta un gran reto para el equipo encargado de revelar estas imágenes.

Los textos originales fueron transcritos al pergamino por un escriba anónimo en el siglo X.

Páginas del palimpsesto de Arquímedes

Se logró develar los textos originales gracias al hierro presente en la tinta con la que fueron escritos.
Tres siglos más tarde un monje de Jerusalén llamado Johannes Myronas recicló el manuscrito al hacer de él un palimpsesto (voz griega que significa borrado nuevamente).

Para poder crear un palimpsesto se debe raspar el pergamino, de forma que se elimine el texto original para que éste puede ser utilizado una vez más.

Para confeccionar un libro con este material de segunda mano, el monje además cortó las páginas a la mitad y las colocó de lado.

Noel considera el palimpsesto de Arquímedes como "la octava maravilla del mundo".

"Uno nunca puede obtener tres textos provenientes de la antigüedad que han sido hechos palimpsestos juntos en un sólo libro", dijo a la BBC. "Es algo de lo que no se ha oído antes".

El monje rellenó este papel reciclado con plegarias ortodoxas griegas.

Luego, en el siglo XX, se le agregaron imágenes religiosas realizadas en pintura dorada para resaltar el valor del tomo.

El resultado fue la casi total destrucción de los textos originales, dejando apenas algunos trazos de la tinta original utilizada por el escriba del siglo X.

Luz brillante

Anteriormente el palimpsesto había sido estudiado utilizando varias técnicas ópticas y digitales de la imagen, pero aún así mucho del texto permanecía escondido.

Los investigadores se volcaron a una nueva técnica conocida como fluorescencia de rayos X, con la que lograron revelar los detalles definitivos de los escritos.

En el caso del palimpsesto, esta técnica resultó bastante útil, ya que la tinta original para documentar el trabajo de Archímedes contenía hierro.

"Cuando los rayos X choca con un átomo de hierro emite una radiación característica, que lo hace brillar", explica el doctor Uwe Bergman, del laboratorio de sincrotrón de la unidad de radiaciones de la Universidad de Stanford, donde se lleva a cabo el trabajo.


Es como recibir un fax desde el siglo III A.C. Es un sentimiento sensacional
Will Noel, director del proyecto.
"Cuando haces un registro de este brillo se puede reconstruir la imagen de todo el hierro presente en el libro".

Las palabras brillantes son mostradas en el monitor de un computador, dándole a los investigadores el primer vistazo al texto en alrededor de 800 años.

"Es como recibir un fax desde el siglo III A.C.", señala Noel. "Es un sentimiento sensacional".

Cada una de las páginas toma unas 12 horas para ser reconstruída.

Por lo pronto, el equipo tiene hasta el 7 de agosto para escudriñar el palimpsesto, antes de que el laboratorio de sincrotrón sea apagado por mantenimiento.

Durante ese tiempo, ellos esperan poder llegar a escanear entre unas 12 y 14 páginas.

 

El País, 18 de abril de 2007
Investigadores en auxilio de Arquímedes

MALEN RUIZ DE ELVIRA - Madrid

Un mecenas cuya identidad se mantiene en secreto, un mohoso libro de oraciones del siglo XIII que se ha reescrito sobre documentos mucho más antiguos de trabajos de Arquímedes y una red de investigadores que recurren a las técnicas más modernas y a los mejores expertos sobre el saber más antiguo son los elementos de un detectivesco proyecto de investigación en el que las ciencias experimentales ayudan a revelar la historia. 

Dos de estos expertos, Revel Nezt y William Noel, cuentan en El código de Arquímedes (Editorial Temas de Hoy) los detalles de este curioso proyecto
de investigación, que comenzó en 1999 y todavía no ha terminado. España es el primer país en que se publica este libro, cuyos autores iniciaron la investigación que pronto se convirtió en el Proyecto Palimpsesto, privado, que utiliza herramientas de integración de sistemas y planificación estratégica. Lo está financiando el todavía desconocido comprador del manuscrito (por dos millones de dólares), cuando éste salió a la luz en una subasta en Nueva York en 1998 tras mantenerse oculto y minusvalorado durante casi todo el siglo XX. 

Según los autores, se ha confirmado que es el manuscrito más antiguo que existe sobre Arquímedes, el único que contiene en griego original el famoso ensayo Sobre los cuerpos flotantes y la única fuente en griego para el revolucionario El método y el ameno Stomachion. Y además, contiene diagramas. Noel es conservador del Museo de Arte Walters en Baltimore (Estados Unidos), donde fue depositado el manuscrito tras la subasta. Netz es matemático y experto en Arquímedes, al que considera el científico más importante de la historia, como queda meridianamente claro en el libro. 

Del trabajo artesanal de desmontaje y conservación de las mohosas páginas del palimpsesto a su análisis en el sincrotrón de Stanford, la investigación ha hecho un largo camino. En paralelo se ha reconstruido el azaroso recorrido del manuscrito por las orillas del Mediterráneo, de Alejandría a Constantinopla y luego en Europa, desde que se escribieron en el siglo IX los pergaminos originales. 

El libro presenta positivamente el funcionamiento de la comunidad científica internacional, en la que sobresale Estados Unidos, donde, además de existir el dinero y el interés por hacerse con este tesoro histórico, existe también la masa crítica científica para poder investigarlo, recurriendo sin problemas a expertos de otros países. También es un recordatorio de aquellos tiempos no tan lejanos en que artistas y científicos tenían algo en común: ser financiados por mecenas.

 

Terra, 27-04-2007

Los expertos quedaron sin palabras al descubrir, en un libro de oraciones medieval, comentarios de Alejandro de Afrodisias sobre las categorías de Aristóteles, 
obra que sirvió de fundamento a la Lógica y que se consideraba perdido. En el pergamino, conocido como el Palimpsesto de Arquímedes, ya se habían descubierto ocultas también obras del político Hipérides, de acuerdo con información de la BBC.

Ahora, un sistema avanzado de procesamiento de imágenes ha revelado un tercer texto, un comentario sobre el filósofo Aristóteles.

William Noel, director del proyecto, dijo que era "un hallazgo sensacional", ya  que el libro fue escrito en el siglo XIII por un escriba llamado Juan Myronas.

El escriba, en lugar de usar un nuevo pergamino para su trabajo, empleó páginas de cinco libros existentes. Es decir, recicló el pergamino, pero ahora es posible ver lo que contenían  las hojas todas las veces que fueron empleadas.

El doctor Noel, curador de manuscritos del Museo de Arte Walters de Estados Unidos y co-autor de un libro próximo a publicarse sobre el Palimpsesto de Arquímedes, dijo: "Es un proceso más bien brutal, pero así uno puede reutilizar el pergamino si uno se queda corto". 

"Se toman los libros de las estanterías, se raspa el texto, se corta y se hace un nuevo libro". 

Pergamino reciclado

En 1906 se descubrió que uno de los libros reciclados para formar el manuscrito medieval contenía un trabajo único de Arquímedes. 

En 2002, la tecnología moderna de imágenes no sólo ofreció una visión más clara de las palabras del famoso matemático, sino que también reveló otro texto,
el único manuscrito conocido de Hipérides, un político ateniense del siglo IV AC. 

"En este punto, uno empieza a pensar que dar con un palimpsesto es fantástico y que hacerlo con dos, es absolutamente sorprendente. Pero entonces
sucedió algo aún más extraordinario" le dijo Noel a la BBC. 

Uno de los libros reciclados estaba siendo muy difícil de leer, explicó Roger Easton, un profesor de ciencias de la imagen en el Instituto de
Tecnología de Rochester, en Estados Unidos. 

"Estamos usando una técnica llamada imagen multiespectral", dijo el investigador. 

Esta técnica usa fotografías tomadas con diferentes longitudes de onda para resaltar las características particulares del área observada. 

Ajustes sutiles de este método, explicó el profesor Easton, permitieron que de repente se revelaran las imágenes escondidas. 

"Aunque no podía leer el griego antiguo, el simple hecho de que pudiera ver las palabras me dio escalofríos", dijo Easton. 

Los fundamentos de la lógica 

Un equipo internacional de expertos empezó a escrutar las antiguas palabras, explicó Reviel Netz, profesor de ciencia antigua de la Universidad de
Stanford, y coautor del libro sobre el palimpsesto. 

Una serie de pistas, tales como la detección de un nombre clave al margen, llevaron al equipo a obtener sus conclusiones. 

"El pasaje filosófico en el Palimpsesto de Arquímedes esta ahora identificado de manera definitiva como un comentario relativamente temprano a
las categorías de Aristóteles", dijo el profesor Netz. 

Y agregó que las categorías de Aristóteles habían servido como la base para el estudio de la lógica a lo largo de la historia occidental. 

Nuevos estudios revelaron que el autor más probable de este comentario único es Alejandro de Afrodisias, le dijo a la
BBC el profesor Robert Sharples de la Universidad de Londres. 

Dijo que si este era el caso, "nos entrega parte de un comentario que anteriormente se creía perdido, escrito por el más importante de los
comentaristas antiguos de Aristóteles".