Método de Arquímedes doblando el número de lados k veces
(Calculando a mano llegó hasta el caso k=4)

k lados valor de (por defecto) valor de (por exceso)
0 6 3.0000000000000000 3.4641016151377546
1 12 3.1058285412302492 3.2153903091734725
2 24 3.1326286132812382 3.1596599420975005
3 48 3.1393502030468671 3.1460862151314350
4 96 3.1410319508905096 3.1427145996453683
5 192 3.1414524722854620 3.1418730499798238
6 384 3.1415576079118575 3.1416627470568485
7 768 3.1415838921483183 3.1416101766046894
8 1.536 3.1415904632280500 3.1415970343215261
9 3.072 3.1415921059992714 3.1415937487713519
10 6.144 3.1415925166921574 3.1415929273850969
11 12.288 3.1415926193653840 3.1415927220386137
12 24.576 3.1415926450336908 3.1415926707019980
13 49.152 3.1415926514507675 3.1415926578678444
14 98.304 3.1415926530550367 3.1415926546593059
15 196.608 3.1415926534561041 3.1415926538571713
16 393.216 3.1415926535563710 3.1415926536566377
17 786.432 3.1415926535814378 3.1415926536065044
18 1.572.864 3.1415926535877044 3.1415926535939711
19 3.145.728 3.1415926535892710 3.1415926535908377
20 6.291.456 3.1415926535896625 3.1415926535900544

 

Aquí tienes el programa con el que realicé  el cálculo. 
O si lo prefieres puedes acceder a la versión javascript y calcularlo tu mismo

 

/********************************************************************/
/**                Cálculo del número pi mediante el método de Arquímedes                        **/
/**                                  Autor: JM Soft    Marzo 2002                                                **/
/********************************************************************/

#include <stdio.h>
#include <math.h>

main() 
{
long double i[23];     //Para polígonos inscritos de 6*2^a lados
long double c[23];     //Para polígonos circunscritos de 6*2^a lados
int a;
i[0]=3.0;                    //Razón entre hexágono inscrito y diámetro
c[0]=2.0*sqrt(3.0);      //Razón entre hexágono circunscrito y diámetro.
printf("%3d       %.16Lf       %.16Lf \n",0,i[0],c[0]);
for (a=1; a<23; a++)
{
        c[a]=2.0*i[a-1]*c[a-1]/(i[a-1]+c[a-1]);
        i[a]=sqrt(i[a-1]*c[a]);
        printf("%3d       %.16Lf       %.16Lf \n",a,i[a],c[a]);
}
return 0;

}

 

 


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