"El diámetro de un circulo no mide a la circunferencia como un entero a un entero."
Johann Heinrich Lambert (1728-1777).

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El resultado demostrado por Lambert en 1766 es el siguiente:

Teorema: Si x ≠ 0 es un número racional, entonces tan(x) es irracional.

    Observación: El teorema implica la irracionalidad de pi. Como tan(π/4) = 1, entonces π/4 no puede ser racional, ya que en este caso 1 debería ser un irracional, pero evidentemente no es así.

Para demostrar este teorema tuvo que apoyarse en los dos resultados siguientes:

 

Proposición 1: Sea x un número racional. Entonces la tangente de x puede expresarse como fracción continua de la siguiente forma:

 

Proposición 2: Si tenemos una fracción continua como la de abajo en la que ai, bi son números enteros tales que ai · bi ≠ 0 para todo i ≥ 1;

 

y si x es el número al que converge la fracción anterior y xn el número al que converge la fracción continua que se obtiene a partir de la anterior  suprimiendo ai y bi para i= 1, 2, ..., n-1, y se verifica que |ai|< |bi| para todo i entonces:

    (1)  |x|<1
    (2)  Si xn ≠ ±1 para todo n, entonces x es irracional.

 

 


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