Teorema (Hermite-Lindemann): Si α ≠ 0 es algebraico (sobre Q), entonces eα es trascendente.
                                                            En particular,  e y π son trascendentes.

 


Charles Hermite (1822-1901)


F. von Lindemann (1852-1939)

 

    La trascendencia de e fue demostrada por Charles Hermite en 1873. Su prueba asegura que e elevado a cualquier potencia racional ( ≠0 ) es un número trascendente. Está demostración fue generalizada por Lindemann en 1882, al conseguir el resultado que enunciamos al principio: e elevado a un número algebraico ( ≠ 0 ) es un número trascendente.

Si la demostración de Lindemann sigue los pasos de la de Hermite es porque hay una conexión esencial entre estos dos números ¿Cuál es la conexión? La respuesta es la famosa fórmula de Euler:  eπi + 1 = 0.

Si suponemos que π es algebraico, entonces π.i también es algebraico. Utilizando el teorema de Hermite-Lindemann, tenemos que eπi es trascendente. Pero la fórmula de Euler asegura que  eπi es igual a -1. Esta contradicción nos permite concluir que π es trascendente. q.e.d.

La trascendencia de π implica la trascendencia de √ π.

Por tanto, tras más de 2000 años de espera, podemos concluir 
que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución.

        Años más tarde, en 1934, Gelfond y Schneider demuestran que eπ es trascendente.

        En 1953, Mahler demuestra que π no es un número de Liouville.

        Todavía no se ha podido demostrar si π es normal.

 

 


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