Claudio Ptolomeo

Nació : hacia el año 85 d.C. en Egipto

Murió: hacia el 165 en Alejandría (Egipto)



        Uno de los astrónomos y geógrafos griegos más influyentes de su época, Ptolomeo planteó la teoría geocéntrica con la suficiente solidez como para prevalecer durante 1400 años. Sin embargo, de todos los matemáticos de la Grecia Antigua, es justo decir que su obra ha generado más discusiones y argumentaciones que la de ningún otro. Examinaremos más adelante los argumentos que, dependiendo de los que tomemos como correctos, pintan un retrato de Ptolomeo desde diferentes puntos de vista. Los argumentos de algunos historiadores muestran que Ptolomeo era un matemático de primera; otros hablan de él como simplemente un gran expositor pero, aún peor, algunos incluso afirman que cometió un crimen contra sus colegas científicos al traicionar la ética y la integridad de su profesión.

        Sabemos muy poco sobre su vida. Hizo observaciones astronómicas desde Alejandría entre los años 127 y 141 d.C. De hecho, la primera observación que podemos fechar exactamente fue realizada por Ptolomeo el 26 de marzo de 127 mientras que la última la hizo el 2 de febrero de 141. Teodoro Meliteniota nos dice, alrededor de 1360, que Ptolomeo había nacido en Hermia (en el Alto Egipto en vez de en el Bajo Egipto que es donde queda Alejandría) pero, ya que su afirmación es hecha más de mil años después de la época de Ptolomeo, debe ser tratada como poco probable. De hecho, no hay evidencia de que Ptolomeo haya estado nunca fuera de Alejandría. 

        Su nombre, Claudio Ptolomeo, es por supuesto una mezcla del griego-egipcio 'Ptolomeo' y el romano 'Claudio'. Esto puede indicar que era descendiente de una familia griega que vivía en Egipto y que era ciudadano de Roma, lo cual se debería a que un emperador romano le habría dado esa 'recompensa' a alguno de los antepasados de Ptolomeo.

        Lo que sí sabemos es que Ptolomeo utilizó las observaciones hechas por 'Teón el matemático', seguramente Teón de Esmirna, quien muy probablemente fuese su maestro. Ciertamente esto tendría sentido, ya que Teón fue tanto un observador como un matemático y escribió sobre temas de astronomía como conjunciones, eclipses, ocultaciones y tránsitos. Casi todas las obras de la primera época de Ptolomeo están dedicadas a Siro, quien podría haber sido también uno de sus maestros en Alejandría aunque nada se sabe de él. 

        Si estos datos sobre los maestros de Ptolomeo son correctos, entonces sin duda no encontró en Teón a un gran erudito, ya que al parecer no entendía con profundidad las obras astronómicas que describe. Por otro lado, Alejandría tenía una tradición académica que implicaría que aunque Ptolomeo no hubiera tenido acceso a los mejores maestros, lo tendría a las bibliotecas en las que habría encontrado el valioso material del que hizo tan buen uso. 

        Las obras más importantes de Ptolomeo han sobrevivido y las discutiremos más adelante. La más importante de ellas es el 'Almagesto', un tratado que comprende trece libros. Debemos decir antes de seguir que, aunque la obra es ahora conocida casi universalmente como el 'Almagesto', ese no era su nombre original. El nombre griego original se traduce como 'La recopilación matemática' pero este título fue reemplazado pronto por otro título griego que significa 'La más grande recopilación'. Éste se tradujo al árabe como 'al-majisti' (el más grande) y de aquí se tradujo al latín como 'Almagesto'. 

        El 'Almagesto' es la obra más temprana de Ptolomeo y en ella explica la teoría matemática de los movimientos del Sol, la Luna y los planetas. Ptolomeo hizo su contribución más original al presentar detalles de los movimientos de cada uno de los planetas. El 'Almagesto' no fue destituido de su lugar de privilegio hasta un siglo después de que Copérnico presentara su teoría heliocéntrica en 'De revolutionibus' en 1543. Grassoff escribe en [8]: 

El 'Almagesto' de Ptolomeo comparte con los 'Elementos' de Euclides, la gloria de ser uno de los textos científicos usados durante más tiempo. Desde su concepción en el siglo II hasta finales del Renacimiento, determinó la astronomía como ciencia. Durante este tiempo, el 'Almagesto' no fue sólo un trabajo sobre astronomía; ??? la materia fue definida conforme lo que se describe en el 'Almagesto'.

El mismo Ptolomeo describe muy claramente lo que intenta hacer al escribir la obra (ver por ejemplo [15]): 

    Trataremos de anotar todo lo que creemos haber descubierto hasta el momento; lo haremos de la manera más concisa posible y también para que pueda ser seguido por aquellos que ya han hecho algún progreso en la materia. Para hacer un tratamiento completo, dispondremos en orden todo lo que sea útil para la teoría de los cielos pero, para evitar que sea demasiado largo, simplemente resumiremos lo que ha sido establecido adecuadamente por los antiguos. Sin embargo, los temas que no han sido tratados por nuestros predecesores, o que no lo han sido de la manera más útil, serán discutidos en extenso del mejor modo que podamos.

        Lo primero que hace Ptolomeo es justificar un universo basado en el sistema geocéntrico descrito por Aristóteles. Es una visión del mundo basada en que la Tierra está fija y a su alrededor gira cada día la esfera de las estrellas fijas, llevando consigo las esferas del sol, la luna y los planetas, usando combinaciones de movimientos circulares llamados epiciclos. Una vez establecido este modelo, Ptolomeo pasa a describir las matemáticas que necesita en el resto de la obra. En particular, presenta métodos trigonométricos basados en la función Crd (cuerda) (que está relacionada con la función seno por sen a = (Crd 2a/120)). 

        Ptolomeo creó nuevos teoremas y demostraciones geométricas. Obtuvo, usando cuerdas de un círculo y un polígono inscrito de 360 lados, la aproximación p = 3 + 17/120 = 3.14166, y usando Ö3 = arco 60°, Ö3 = 1.73205. Usó fórmulas para la función Cuerda que son análogas a las nuestras para sen(a + b), sen(a - b) y sen(a/2) para hacer la tabla de la función cuerda a intervalos de 1/2 grado. 

        Esto ocupa los dos primeros libros de los trece del 'Almagesto' y después, citando de nuevo de la introducción, damos la descripción del mismo Ptolomeo de cómo pretendía desarrollar el resto de la astronomía matemática del tratado (ver por ejemplo [15]): 

[Después de presentar los conceptos matemáticos] tenemos que pasar por los movimientos del sol y de la luna y por los fenómenos que acompañan estos movimientos; ya que sería imposible examinar la teoría de las estrellas a profundidad sin comprender primero estos temas. Nuestra tarea final en este acercamiento es la teoría de las estrellas. Aquí también sería apropiado tratar primero con la esfera de las llamadas 'estrellas fijas' y seguir con el de los cinco llamados 'planetas'. 

        Al examinar la teoría sobre el sol, Ptolomeo compara sus propias observaciones de los equinoccios con las de Hiparco y con las antiguas observaciones de Metón en 432 a.C. Confirmó la duración del año trópico como 365 días y 1/4 menos 1/300 de día, el valor exacto obtenido por Hiparco. Como Ptolomeo sabía, la exactitud del resto de sus datos dependía fuertemente de este valor y  el hecho de que el verdadero sea 365 días y 1/4 menos 1/128 de día, produjo errores en el resto de su obra. Discutiremos más adelante, con más detalle, las acusaciones que se han hecho contra Ptolomeo pero esto ???ilustra claramente sus bases ya que Ptolomeo tendría que haber tenido un error de 28 horas en su observación del equinoccio para producir este error, y aun si la exactitud que puede esperarse con los métodos e instrumentos antiguos, es esencialmente increíble que hubiera cometido un error de esta magnitud. Una buena discusión de este extraño error puede encontrarse en el excelente artículo [19]. 

        Basado en sus observaciones de los equinocios y los solsticios, Ptolomeo encontró la duración de las estaciones y, basándose en ello, propuso un modelo sencillo para el sol que era un movimiento circular con velocidad angular uniforme pero en el que la Tierra no estaba en el centro del círculo sino a una distancia llamada la excentricidad respecto a dicho centro. Esta teoría sobre el Sol es el tema del Libro 3 del Almagesto. 

        En los libros 4 y 5, Ptolomeo explica su teoría sobre la Luna. Aquí sigue a Hiparco, quien había estudiado tres periodos distintos. Están el tiempo que tarda la luna en volver a la misma longitud, el tiempo que le lleva retomar la misma velocidad (la anomalía) y el tiempo que tarda en retornar a la misma latitud. Ptolomeo también discute, como lo había hecho Hiparco, el mes sinódico, que es el tiempo entre oposiciones sucesivas del Sol y la Luna. En el Libro 3 Ptolomeo da el modelo epicíclico de Hiparco para el movimiento de la luna pero hace notar, como lo había hecho ya Hiparco, que hay pequeñas discrepancias entre el modelo y los parámetros observados. A pesar de haber notado estas discrepancias, Hiparco parece no haber conseguido mejorar el modelo pero si lo logra Ptolomeo en el Libro 5, al describir uno mucho mejor que el propuesto por Hiparco. Una interesante discusión de la teoría de Ptolomeo sobre la Luna puede encontrarse en [24].

        Una vez que tenía una teoría para el movimiento del Sol y el de la Luna, Ptolomeo podía aplicarla para obtener una teoría sobre los eclipses, lo cual hace en el Libro 6. Los siguientes dos libros tratan de las estrellas fijas y en el 7, Ptolomeo usa sus propias observaciones junto con las de Hiparco para justificar su creencia de que las estrellas fijas siempre se mantienen en las mismas posiciones unas respecto a otras. Escribió (ver por ejemplo [15]): 

        "Si uno quisiera igualar los alineamientos anteriores con los diagramas que forman las constelaciones en el globo celeste de Hiparco, se encontraría con que las posiciones de las estrellas importantes en el globo que resultan de las observaciones hechas en tiempos de Hiparco, según sus registros, son casi como las acuales."

En estos dos libros, Ptolomeo también expone la precesión, cuyo descubrimiento atribuye a Hiparco, pero su figura tiene un error, principalmente por el error en la duración del año tropical que usó. Gran parte de los Libros 7 y 8 se ocupan del catálogo de estrellas de Ptolomeo, que contiene más de mil estrellas.

        Los últimos cinco libros del Almagesto discuten la teoría sobre los planetas. Este debe ser el logro más importante de Ptolomeo en términos de una contribución original, ya que al parecer no había ningún modelo teórico satisfactorio que explicara los muy complicados movimientos de los cinco planetas antes del Almagesto. Ptolomeo combinó los modelos epicíclico y excéntrico para dar su propio modelo. Así, la trayectoria de un planeta P consistía de un movimiento circular sobre una epicicloide. El centro C de esta epicicloide se mueve sobre un círculo cuyo centro estaba fuera de la Tierra. La innovación realmente inteligente de Ptolomeo fue hacer el movimiento de C uniforme alrededor del centro del círculo sobre el que se mueve, ??? sino alrededor de un punto llamado el ecuante14 que está colocado simétricamente del lado opuesto del centro de la Tierra. 

         La teoría planetaria desarrollada aquí por Ptolomeo es una obra maestra. Creó un sofisticado modelo matemático para que se ajustará a los datos observados, que antes de su época eran escasos, y el modelo que produjo, aunque complicado, representa el movimiento de los planetas con bastante fidelidad.

Toomer resume el Almagesto en [1] como sigue: 

Como obra didáctica, el 'Almagesto' es una obra maestra por su claridad y método, superior a cualquier otro libro de texto científico de la antigüedad y con pocos iguales en otras épocas. Pero es mucho más que eso. Lejos de ser una mera 'sistematización' de la astronomía griega anterior, como se le describe algunas veces, es en muchos aspectos una obra original.

Volveremos a discutir algunas de las acusaciones hechas contra Ptolomeo después de reseñar brevemente sus otras obras. Publicó por separado las tablas que están dispersas por todo el Almagesto bajo el título de Tablas Fáciles. Sin embargo, éstas no fueron copiadas simplemente del Almagesto sino que Ptolomeo hizo numerosas mejoras en su presentación, facilidad de uso e incluso en los parámetros básicos para otorgarles una mayor precisión. Solamente conocemos detalles de las tablas a través de los comentarios de Teón de Alejandría pero en [76], el autor muestra que hay que tener cuidado ya que Teón no conocía en su totalidad los procedimientos de Ptolomeo. 

        Ptolomeo también hizo lo que muchos escritores de obras científicas profundas han hecho, y aún hacen, al escribir una versión popular de sus resultados. En este caso el libro se llamó Hipótesis Planetarias. Este trabajo, en dos libros, nuevamente sigue la ruta acostumbrada de minimizar las habilidades matemáticas requeridas por el lector. Ptolomeo lo hace de una forma muy inteligente, reemplazando las teorías geométricas abstractas por teorías mecánicas. Ptolomeo también escribió una obra sobre astrología. Al lector moderno puede parecerle extraño que alguien que escribió libros científicos tan buenos, haya escrito sobre astrología. Sin embargo, Ptolomeo lo ve de manera muy diferente ya que afirma que el Almagesto le permite a uno encontrar las posiciones de los cuerpos celestes mientras que a su libro de astrología lo considera un trabajo para acompañarlo, al describir los efectos de los cuerpos celestes sobre la vida de las personas. 

        En un libro llamado Analemna discutió los métodos para hallar los ángulos para construir un reloj de sol que involucra la proyección de puntos en la esfera celeste [15]. En Planisphaerium se ocupa de la proyección estereográfica [16] de la esfera celeste sobre un plano. Esto se discute en [48], donde se afirma: 

En la proyección estereográfica tratada por Ptolomeo en el 'Planisphaerium', la esfera celeste se aplica sobre el plano del ecuador mediante una proyección desde el polo sur. Ptolomeo no demuestra la importante propiedad de que los círculos sobre la esfera se transforman en círculos sobre el plano.

        Geografía, la importante obra de Ptolomeo escrita en ocho tomos, intenta cartografiar el mundo conocido dando coordenadas de los principales lugares en términos de latitud y longitud. No es de sorprender que los mapas dados por Ptolomeo fuera inexactos en muchos lugares ya que no se puede esperar que hiciera más que usar los datos que había y estos eran de baja calidad para todo aquello que estuviese fuera del Imperio Romano; incluso partes del Imperio están gravemente distorsionadas. En [19] Ptolomeo es descrito como: 

...un hombre trabajando (en la construcción de mapas) sin la ayuda de una teoría avanzada sino dentro de una tradición matemática y guiado por su sentido de lo que es apropiado para el problema.

Otro trabajo sobre Óptica está formado por cinco libros y en él, Ptolomeo estudia el color, la reflexión, la refracción [17] y espejos de diversas formas. Toomer comenta en [1]: 

El establecer una teoría mediante la experimentación, y a menudo la construcción de aparatos especiales, es el rasgo más llamativo de la 'Óptica' de Ptolomeo. Independientemente de si la materia de estudio es mayormente original o derivada de otra, la 'Óptica' es un impresionante ejemplo del desarrollo de una ciencia matemática con el debido respeto a los datos físicos y es digna del autor del 'Almagesto'. 

        Una traducción al inglés, que intenta quitar las inexactitudes introducidas en la pobre traducción al árabe que es nuestra única fuente de la 'Óptica', es [14]. 

        El primero en hacer acusaciones contra Ptolomeo fue Tycho Brahe. Él descubrió que había un error sistemático de un grado en las longitudes de las estrellas en el catálogo correspondiente y afirmó que, a pesar de que Ptolomeo dijera que representaban sus propias observaciones, era simplemente una conversión de un catálogo de Hiparco corrigiendo la precisión para la época de Ptolomeo. Por supuesto que hay problemas al comparar dos catálogos de estrellas de los cuales, de uno tenemos una copia mientras que el otro está perdido. 

        Después de comentarios de Laplace y Lalande, el siguiente en atacar a Ptolomeo vigorosamente fue Delambre. Él sugirió que tal vez los errores eran de Hiparco y que Ptolomeo podría no haber hecho más que fallar en la corrección de los datos de Hiparco para el tiempo entre los equinoccios y los solsticios. Sin embargo, Delambre continua diciendo (ver [8]): 

Puede explicarse todo de una manera mucho menos favorable pero más simple si se niega la observación de Ptolomeo de las estrellas y equinoccios y si se afirma que asimiló todo de Hiparco, usando el valor mínimo para estos últimos para el movimiento de precesión. 

Sin embargo, a Ptolomeo no le faltaban partidarios y análisis posteriores llevaron a la creencia de que las acusaciones hechas en su contra por Delambre eran falsas. Boll, escribiendo en 1894, dice [4]: 

Por lo que sabemos, habría que darle crédito a Ptolomeo por dar un panorama esencialmente más rico del firmamento griego después de sus eminentes predecesores. 

Vogt mostró claramente en su importante artículo [77] que, si se considera el Comentario sobre Arato y Eudoxo de Hiparco y si se asume el razonable supuesto de que los datos dados allí van de acuerdo con el catálogo de estrellas de Hiparco, entonces el catálogo de estrellas de Ptololmeo no puede haberse obtenido a partir de las posiciones de las estrellas que da Hiparco, excepto para un pequeño número de ellas, cuyos datos al parecer Ptolomeo tomó de Hiparco. Vogt escribe que: 

Esto nos permite considerar al catálogo de estrellas fijas como de su autoría, tal y como Ptolomeo afirma categóricamente. 

Las acusaciones más recientes de plagio hechas contra Ptolomeo vinieron de Newton en [12]. Empieza este libro expresando claramente su punto de vista: 

Esta es la historia de un crimen científico... Me refiero a un crimen cometido por un científico contra sus colegas científicos y académicos, una traición de la ética y la integridad de su profesión que ha privado para siempre a la humanidad de información fundamental sobre una importante área de la astronomía y la historia.

Hacia el final, después de afirmar que había demostrado que cada observación hecha por Ptolomeo en el Almagesto era inventada, Newton escribe [12]: 

[Ptolomeo] desarrolló ciertas teorías astronómicas y descubrió que no eran consistentes con las observaciones. En vez de abandonar las teorías, deliberadamente falseó las observaciones a partir de las teorías de tal modo que pudiera afirmar que las observaciones demostraban la validez de sus teorías. En cada medio científico o académico conocido, a esta práctica se le llama fraude y es un crimen contra la ciencia y la erudición.

Aunque la evidencia producida por Brahe, Delambre, Newton y otros ciertamente muestra que los errores de Ptolomeo no son debidos al azar, esta última cita de [12] es, creo yo [EFR], un crimen contra Ptolomeo (usando las misma palabras de Newton). El libro [8] fue escrito para estudiar la validez de estas acusaciones y creo firmemente que es un trabajo que da la interpretación correcta. Grasshoff escribe: 

...hay que suponer que una parte sustancial del catálogo de estrellas ptolemaico se basa en aquellas observaciones de Hiparco que él usó para la recopilación de la segunda parte de su 'Comentario sobre Arato'. Aunque no puede descartarse que las coordenadas resultantes de las genuinas observaciones ptolemaicas están incluidas en el catálogo, no pueden suponer más de la mitad del catálogo. 

...la asimilación de las observaciones de Hiparco no puede seguir siendo discutida bajo el aspecto de plagio. Ptolomeo, cuya intención era desarrollar una teoría comprehensiva de los fenómenos celestes, no tenía acceso a los métodos de evaluación de datos usando los medios aritméticos con los que los astrónomos modernos pueden, a partir de un conjunto de resultados con mediciones que varían, obtener el valor representativo que se necesita para probar una hipótesis. Entonces, por razones metodológicas, Ptolomeo se vio forzado a escoger de un conjunto de mediciones el valor que más se ajustaba a su teoría y que pasó a considerar como los datos más fiables. Cuando una selección intuitiva de entre los datos no podía hacerse ... Ptolomeo tenía que considerar como 'observados' aquellos valores que podían ser confirmados por las predicciones teóricas.

Como comentario final, citamos el epigrama que muchos académicos aceptan como escrito por el mismo Ptolomeo y que aparece en el Libro 1 del Almagesto, después de la lista de contenidos (ver por ejemplo [11]): 

Bien sé que soy mortal, una criatura de un día. 
Pero mi mente sigue los serpenteantes caminos de las estrellas 
Entonces mis pies ya no pisan la tierra, sino que al lado de 
Zeus mismo me colmo con ambrosía, el divino manjar. 

Traducido del artículo en inglés de: J J O'Connor y E F Robertson 
MacTutor History of Mathematics Archive 

Glosario:

Ética es la rama de la filosofía que trata del carácter y la conducta humana. 

Una conjunción es el encuentro aparente de dos astros en el cielo; tiene lugar cuando dos cuerpos celestes se mueven en el mismo lugar en el cielo. 

Ocultación es cuando un cuerpo celeste pasa por detrás de otro, por ejemplo cuando una estrella pasa atrás de un planeta. 

Un tránsito es el paso de un cuerpo celeste por el meridiano o el pasaje de un cuerpo celeste frente a otro. 

La teoría heliocéntrica afirma que los planetas se mueven alrededor del Sol en vez de hacerlo alrededor de la Tierra. 

Un epiciclo es un círculo cuyo centro recorre la circunferencia de otro círculo. Los epiciclos fueron introducidos originalmente para explicar las órbitas de los planetas entre las estrellas fijas. Para más detalles, ver Aspectos matemáticos de los epiciclos y deferentes 

Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice entonces que el polígono está circunscrito al círculo. Al círculo inscrito en un triángulo se le llama incírculo y a su centro, incentro. 

El equinoccio es el momento en el año en el que el sol de mediodía está justo por encima del ecuador, haciendo que el día y la noche duren exactamente lo mismo. Los equinoccios tienen lugar alrededor del 21 de marzo y el 23 de septiembre. 

El año trópico es el tiempo que pasa entre repeticiones de las estaciones. Se calcula usando el periodo de tiempo entre los equinoccios. 

??? El solsticio es el momento de año cuando el sol está a mayor distancia del ecuador, haciendo que el día y la noche sean los más largos o cortos. Tienen lugar alrededor del 21 de junio y el 21 de diciembre. 

El mes sinódico es el tiempo entre oposiciones sucesivas del sol y la luna. 

La oposición es la situación de un cuerpo celeste cuando está directamente opuesto a otro, generalmente del sol. 

El ecuante es un punto imaginario, externo a la Tierra, alrededor del cual se movían los planetas en el modelo tolemaico. 

La esfera celeste es la esfera sobre la que aparentan moverse las estrellas en el cielo. 

Una proyección estereográfica es la proyección de los puntos de una esfera desde el Polo Norte de ella, a través de líneas rectas, hasta el plano ecuatorial o hasta el plano tangente al Polo Sur. 

El modelo excéntrico afirma que los planetas se mueven en círculos cuyos centros no coinciden con la Tierra. 

La refracción es el cambio de dirección de un haz de luz cuando pasa de un medio a otro como, por ejemplo, del aire al agua o a un vidrio.


Bibliografía:

Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990). 

Biografía en Encyclopaedia Britannica. 

F Boll, Studien über Claudius Ptolemäus (Leipzig, 1894). 

G Grasshoff, The history of Ptolemy's star catalogue (New York, 1990). 

O Neugebauer, A History of Ancient Mathematical Astronomy (3 Vols.) (Berlin-Heidelberg-New York, 1975). 

R R Newton, The crime of Claudius Ptolemy (Baltimore, MD, 1977). 

A M Smith, Ptolemy's theory of visual perception, Transactions of the American Philosophical Society 86 Pt. 2 (Philadelphia, PA, 1996). 

G J Toomer (trs.), Ptolemy's Almagest (London, 1984). 

J P Britton, Models and precision : the quality of Ptolemy's observations and parameters, in Sources and Studies in the History and Philosophy of Classical Science 1 (New York, 1992). 

P Del Santo and G Strano, Observational evidence and the evolution of Ptolemy's lunar model, Nuncius Ann. Storia Sci. 11 (1) (1996), 93-122. 

R P Lorch, Ptolemy and Maslama on the transformation of circles into circles in stereographic projection, Arch. Hist. Exact Sci. 49 (3) (1995), 271-284. 

B van Dalen, On Ptolemy's table for the equation of time, Centaurus 37 (2) (1994), 97-153. 

H Vogt, Versuch einer Wiederherstellung von Hipparchs Fixsternverzeichnis, Astronomische Nachrichten 224 (1925), 17-54. 

 

Lista de referencias:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/References/Ptolemy.html

        


Página principal


Matemáticas