Curiosidades

 


La invención del 0 se debe a los hindúes y se produjo hacia el siglo IX, aunque fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa. Al parecer, el primer matemático importante que hizo uso del signo 0 fue el árabe Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, en el 810 de nuestra era, aunque no adquirió su actual significado hasta el siglo XVII. En el mundo cristiano, en el año 527, el papa Juan I encargó a Dionisio "El Exiguo", un erudito monje escita, que calculara la fecha del nacimiento de Cristo y que se tomará como referencia para un nuevo calendario, basado hasta entonces en la fundación de Roma. Sus cálculos le llevaron a concluir que el día de la Natividad había tenido lugar el 25 de diciembre del 753 ab urbe condita (desde la fundación de Roma). El primer siglo de la era cristiana comenzó entonces en el año I (en Europa no se conocía el cero) y terminó el 31 de diciembre del año 100. El siglo II comenzó el 1 de enero del año 101, y así sucesivamente. El siglo XX empezó el 1 de enero de 1901 y terminó el 31 de diciembre de 2000 (no de 1999 como muchos anunciaron). El III milenio comenzó el 1 de enero de 2001.

Nota: Según la tradición religiosa judía, un varón judío no es nombrado ni considerado como parte de la congregación hasta haber sido circuncidado, el octavo día después de su nacimiento, así que el 1 de enero del año 754 AUC sería el primer día del primer año de la Era Cristiana. 


Una hora se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Esta división del tiempo se remonta a Mesopotamia, donde se utilizó el sistema de numeración sexagesimal (base 60) hace más de 4000 años. La división de la circunferencia en 360º tendría el mismo origen, ya que 360 es múltiplo de 60 y era la duración estimada para un año. Una ventaja adicional es que 360 es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, ... lo cual permite hacer cálculos a mano de forma más sencilla. En épocas antiguas se utilizaron medidas de longitud y peso diferentes a las que utilizamos hoy en día. Todas dejaron de utilizarse cuando se aprobó el sistema métrico decimal propuesto durante la revolución francesa. En esa misma época, se adoptó un sistema de medición del tiempo según el cual cada día se dividía en 10 horas, cada hora en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos. No consiguió imponerse pues todo el mundo estaba acostumbrado al otro sistema y provocaba muchas confusiones. Y por eso seguimos usando el antiguo sistema basado en el número 60. (En el sistema decimal de tiempo, un día tiene 10·100·100 = 100.000 segundos y en el sistema ordinario 24·60·60 = 86.400 segundos. Por tanto, un segundo ordinario equivale a 1,1574 segundos decimales. Análogamente, un minuto ordinario equivale a 0,6944 minutos decimales)


El triángulo perfecto o sagrado, de lados 3, 4 y 5 unidades, fue usado por los egipcios para trazar ángulos rectos. En sus papiros se observan los tenedores de cuerdas, que fijaban los límites de las parcelas después de las inundaciones del Nilo, construyendo con cuerdas triángulos rectángulos y fijando direcciones perpendiculares. Los arquitectos de algunas dinastías persas también usaron estos conocimientos para trazar los tejados de sus edificios.

El primer mapa con carácter científico se debe al griego Dicearc (IV-III a.C.). Dividió la Tierra trazando una línea horizontal que salía de las Columnas de Hércules (Estrecho de Gibraltar), pasando por Sicilia, el Peloponeso y Asia Menor. También trazó una línea perpendicular a la primera que pasaba por la actual Asswan (Egipto). De esta manera, cualquier punto en tierra o en mar se identificaba con dos números: la distancia a la línea horizontal y a la vertical. En el siglo XVII y basándose en esta idea surge la Geometría Analítica.


La primera edición latina del libro Los Elementos de Euclides apareció en 1482 con la invención de la imprenta.


La Tierra tarda 365'2422168... días en su movimiento de traslación alrededor del Sol, aunque se toman 365 días que es el año civil. Para compensar el error que en cuatro años supone 0'9688671... días, Julio César dispuso que cada cuatro años se aumentara la duración del año en un día y de esta manera aparecieron el calendario juliano y los años bisiestos. Pero no se resolvió totalmente el problema porque el error es de 0'9688671... días que no es exactamente 1 día. El papa Gregorio XIII en el año 1582 dispuso suprimir 3 días de este calendario cada 400 años, dejando de ser bisiestos los años que terminen en dos ceros y el número de sus centenas no sea divisible por 4. (No fueron bisisestos los años 1700, 1800 y 1900 pero si el año 2000). Para compensar los errores cometidos hasta aquel momento, al jueves 4 de octubre siguió el viernes 15 de octubre de 1582. A este nuevo calendario se le conoce como calendario gregoriano y es el que utilizamos cada día..


Un día de 1637, Fermat estaba leyendo la Arithmetica de Diofanto. Tenía la costumbre de escribir comentarios o soluciones de los problemas en el mismo libro. El problema 8 trataba sobre la forma de descomponer un cuadrado en suma de dos cuadrados, lo que hoy conocemos como ternas pitagóricas. Junto a este problema escribió: "Es imposible descomponer un cubo como suma de dos cubos, un bicuadrado como dos bicuadrados, y en general, una potencia más grande en suma de dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable de este hecho, pero el margen del libro es demasiado estrecho para contenerla". Esta nota tuvo en jaque a matemáticos de varias generaciones, hasta que 358 años después Andew Wiles demostró el caso semiestable de la conjetura de Taniyama-Shimura, lo cual merced aun trabajo previo de Ken Ribet, demostraba el Último Teorema de Fermat.


El Sistema Métrico Decimal que mide longitudes, volúmenes, superficies, capacidades y masas, fue aprobado en el año 1791 por la Academia de Ciencias de París. España adoptó el sistema oficialmente por la Ley de 8 de junio de 1892. Debido al desarrollo de la técnica y la ciencia ha habido modificaciones importantes y se han introducido nuevas unidades de medida.


¡Vaya, qué casualidad! Si cumplimos años el mismo día. Y es que solo se necesitan 23 personas para que la probabilidad de que dos de ellas tengan el mismo cumpleaños sea superior al 50%. Con 30 personas subimos al 70% y con 60 personas, las posibilidades aumentan ¡hasta el 99,5%!

El uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del abecedario para valores conocidos, aparece en el libro "La Geometrie" de Descartes. Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, los impresores se quedaban sin letras. El editor le preguntó a Descartes si podía emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió la x porque en francés esa letra se utiliza poco.


La tabla trigonométrica más antigua que se conoce figura en los Siddantas o sistemas astronómicos (hacia el año 290) durante el comienzo de la dinastía del rey hindú Gupta. En dicha tabla figuran los senos de los ángulos entre 0° y 90° distribuidos en 24 intervalos iguales de 3,75°. Para expresar la longitud del arco y la del seno en términos de la misma unidad, se tomaba como radio 3.438 unidades, la circunferencia correspondiente medía 360 x 60 = 21.600 unidades. Para el seno de 3,75 por ser muy pequeño confundían el seno con el arco, por tanto, se tenía que sen 3,75º = S1 = 60x3,75 = 225. Para los restantes ángulos se sustituía en la expresión Sn+1 = Sn + S1 - Sn/S1, donde Sn es la suma de los n primeros senos. Y lo sorprendente es que el error cometido es muy pequeño.


Ley de Benford

En 1881 el astrónomo y matemático Simon Newcomb observó que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban bastante más usadas que las del final, de lo que dedujo que los dígitos iniciales de los números (al menos los utilizados en el trabajo de quienes habían consultado las tablas) no son equiprobables sino que el 1 aparece como dígito inicial más frecuente, seguido del 2, y así hasta el 9 que es el menos frecuente. Mediante un breve e ingenioso razonamiento, aunque sin presentar realmente un argumento formal ni fórmula matemática, Newcomb enunció verbalmente una relación o ley logarítmica: “la ley de probabilidad de la ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos son equiprobables” de la que derivó probabilidades para el valor del primer dígito más significativo:

1® 0,301; 2® 0,176; 3® 0,125; 4® 0,097; 5® 0,079; 6® 0,067; 7® 0,058; 8® 0,051; 9® 0,046

El resultado más llamativo es el predominio del dígito 1 con una probabilidad del 30% mientras que la del 9 no alcanza el 5%, valores muy distintos al valor equiprobable en torno al 11% que cabría esperar. Es mucho más probable que el primer dígito sea impar (61%) que par (39%).

En 1938 y de manera independiente el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno en las tablas de logaritmos y realizó una comprobación empírica sobre un total de 20.229 números agrupados en 20 muestras de gran diversidad: áreas fluviales, constantes y magnitudes físicas y químicas, funciones matemáticas e incluso números de direcciones de personas y tomados de portadas de revistas. A partir de los resultados empíricos Benford postuló una “ley de los números anómalos” para la probabilidad de que el primer dígito sea n.

P( primer dígito sea n ) = log10 (n+1) - log10 n


Fue C.L. Lehmus el primero en sugerirlo en 1840 y Jacob Steiner el primero en demostrarlo. Si las dos bisectrices interiores de los dos ángulos de la base de un triángulo son iguales, parece evidente que el triángulo ha de ser isósceles. Ningún otro problema de la geometría elemental es más insidioso ni decepcionante. Su recíproco —que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son exactamente iguales— se conoce desde los tiempos de Euclides y es fácil de demostrar. Este otro, en cambio, es extraordinariamente difícil. Archibald Henderson escribió un artículo de unas 40 páginas en el Journal of the Elisha Mitchell Scientific Society de Diciembre de 1937, titulado «Ensayo sobre el problema de las bisectrices interiores para terminar con todos los ensayos sobre el problema de las bisectrices interiores». En él señala que muchas de las demostraciones publicadas, algunas de ellas debidas a matemáticos famosos, son erróneas; a continuación expone diez demostraciones válidas, todas largas y complicadas. Es una agradable sorpresa encontrarse en el libro de Coxeter con una nueva demostración, tan sencilla, que solamente son necesarias cuatro líneas para apuntar la idea de la que se deduce rápidamente la demostración.


La raíz cuadrada inversa rápida (FISR) es un algoritmo que estima el inverso de la raíz cuadrada de un número de 32 bits en formato de coma flotante IEEE 754. Este algoritmo hace un misterioso uso de la constante hexadecimal 0x5F3759DF. Un ejemplo de aplicación lo tenemos en los programas de gráficos por computadora, que usan raíces cuadradas inversas para calcular los ángulos de incidencia y reflexión para la iluminación y las sombras. El algoritmo es mejor conocido por su implementación en 1999 en el código fuente de Quake III Arena. El cálculo de raíces cuadradas generalmente depende de muchas operaciones de división, que para números de coma flotante son computacionalmente costosas, hecho que incidiría negativamente en la velocidad del juego. El algoritmo consigue una buena aproximación usando únicamente una división. Con ello el juego gana en velocidad.


 


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