Curiosidades

 


La invención del 0 se debe a los hindúes y se produjo hacia el siglo IX, aunque fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa. Al parecer, el primer matemático importante que hizo uso del signo 0 fue el árabe Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, en el 810 de nuestra era, aunque no adquirió su actual significado hasta el siglo XVII. En el mundo cristiano, en el año 527, el papa Juan I encargó a Dionisio "El Exiguo", un erudito monje escita, que calculara la fecha del nacimiento de Cristo y que se tomará como referencia para un nuevo calendario, basado hasta entonces en la fundación de Roma. Sus cálculos le llevaron a concluir que el día de la Natividad había tenido lugar el 25 de diciembre del 753 ab urbe condita (desde la fundación de Roma). El primer siglo de la era cristiana comenzó entonces en el año I (en Europa no se conocía el cero) y terminó el 31 de diciembre del año 100. El siglo II comenzó el 1 de enero del año 101, y así sucesivamente. El siglo XX empezó el 1 de enero de 1901 y terminó el 31 de diciembre de 2000 (no de 1999 como muchos anunciaron). El III milenio comenzó el 1 de enero de 2001.

Nota: Según la tradición religiosa judía, un varón judío no es nombrado ni considerado como parte de la congregación hasta haber sido circuncidado, el octavo día después de su nacimiento, así que el 1 de enero del año 754 AUC sería el primer día del primer año de la Era Cristiana. 


La Tierra tarda 365'2422168... días en su movimiento de rotación alrededor del Sol, aunque se toman 365 días que es el año civil. Para compensar el error que en cuatro años supone 0'9688671... días, Julio César dispuso que cada cuatro años se aumentara la duración del año en un día y de esta manera aparecieron los años bisiestos y el calendario juliano.
Pero no se resolvió del todo el problema porque el error es de 0'9688671... días y no 1 día. El papa Gregorio XIII en el año 1582 dispuso suprimir 3 días cada 400 años, dejando de ser bisiestos los años que terminen en dos ceros y el número de sus centenas no sea divisible por 4. Para compensar los errores hasta entonces, se pasó el 4 de octubre de 1582 al 15 del mismo mes. A este nuevo calendario se le conoce como calendario gregoriano.


El triángulo perfecto o sagrado, de lados 3, 4 y 5 unidades, fue usado por los egipcios para trazar ángulos rectos. En sus papiros se observan los tenedores de cuerdas, que fijaban los límites de las parcelas después de las inundaciones del Nilo, construyendo con cuerdas triángulos rectángulos y fijando direcciones perpendiculares. Los arquitectos de algunas dinastías persas también usaron estos conocimientos para trazar los tejados de sus edificios.


El primer mapa con carácter científico se debe al griego Dicearc (IV-III a.C.). Dividió la Tierra trazando una línea horizontal que salía de las Columnas de Hércules (Estrecho de Gibraltar), pasando por Sicilia, el Peloponeso y Asia Menor. También trazó una línea perpendicular a la primera que pasaba por la actual Asswan (Egipto). De esta manera, cualquier punto en tierra o en mar se identificaba con dos números: la distancia a la línea horizontal y a la vertical. En el siglo XVII y basándose en esta idea surge la Geometría Analítica.


La primera edición latina del libro Los Elementos de Euclides apareció en 1482 con la invención de la imprenta.


El uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del abecedario para valores conocidos, aparece en el libro "La Geometrie" de Descartes. Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, los impresores se quedaban sin letras. El editor le preguntó a Descartes si podía emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió la x porque en francés esa letra se utiliza poco.


La tabla trigonométrica más antigua que se conoce figura en los Siddantas o sistemas astronómicos (hacia el año 290) durante el comienzo de la dinastía del rey hindú Gupta. En dicha tabla figuran los senos de los ángulos entre 0° y 90° distribuidos en 24 intervalos iguales de 3,75°. Para expresar la longitud del arco y la del seno en términos de la misma unidad, se tomaba como radio 3.438 unidades, la circunferencia correspondiente medía 360 x 60 = 21.600 unidades. Para el seno de 3,75 por ser muy pequeño confundían el seno con el arco, por tanto, se tenía que sen 3,75º = S1 = 60x3,75 = 225. Para los restantes ángulos se sustituía en la expresión Sn+1 = Sn + S1 - Sn/S1, donde Sn es la suma de los n primeros senos. Y lo sorprendente es que el error cometido es muy pequeño.


Ley de Benford

En 1881 el astrónomo y matemático Simon Newcomb observó que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban bastante más usadas que las del final, de lo que dedujo que los dígitos iniciales de los números (al menos los utilizados en el trabajo de quienes habían consultado las tablas) no son equiprobables sino que el 1 aparece como dígito inicial más frecuente, seguido del 2, y así hasta el 9 que es el menos frecuente. Mediante un breve e ingenioso razonamiento, aunque sin presentar realmente un argumento formal ni fórmula matemática, Newcomb enunció verbalmente una relación o ley logarítmica: “la ley de probabilidad de la ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos son equiprobables” de la que derivó probabilidades para el valor del primer dígito más significativo:

1® 0,301; 2® 0,176; 3® 0,125; 4® 0,097; 5® 0,079; 6® 0,067; 7® 0,058; 8® 0,051; 9® 0,046

El resultado más llamativo es el predominio del dígito 1 con una probabilidad del 30% mientras que la del 9 no alcanza el 5%, valores muy distintos al valor equiprobable en torno al 11% que cabría esperar. Es mucho más probable que el primer dígito sea impar (61%) que par (39%).

En 1938 y de manera independiente el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno en las tablas de logaritmos y realizó una comprobación empírica sobre un total de 20.229 números agrupados en 20 muestras de gran diversidad: áreas fluviales, constantes y magnitudes físicas y químicas, funciones matemáticas e incluso números de direcciones de personas y tomados de portadas de revistas. A partir de los resultados empíricos Benford postuló una “ley de los números anómalos” para la probabilidad de que el primer dígito sea n.

P( 1er dígito sea n ) = log10 (n+1) - log10 n


Fue C.L. Lehmus el primero en sugerirlo en 1840 y Jacob Steiner el primero en demostrarlo. Si las dos bisectrices interiores de los dos ángulos de la base de un triángulo son iguales, parece evidente que el triángulo ha de ser isósceles. Ningún otro problema de la geometría elemental es más insidioso ni decepcionante. Su recíproco —que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son exactamente iguales— se conoce desde los tiempos de Euclides y es fácil de demostrar. Este otro, en cambio, es extraordinariamente difícil. Archibald Henderson escribió un artículo de unas 40 páginas en el Journal of the Elisha Mitchell Scientific Society de Diciembre de 1937, titulado «Ensayo sobre el problema de las bisectrices interiores para terminar con todos los ensayos sobre el problema de las bisectrices interiores». En él señala que muchas de las demostraciones publicadas, algunas de ellas debidas a matemáticos famosos, son erróneas; a continuación expone diez demostraciones válidas, todas largas y complicadas. Es una agradable sorpresa encontrarse en el libro de Coxeter con una nueva demostración, tan sencilla, que solamente son necesarias cuatro líneas para apuntar la idea de la que se deduce rápidamente la demostración.

 


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