Problemas para entretenerse

Una evidencia de que los problemas y juegos de ingenio han interesado al hombre desde tiempos remotos, podemos encontrarla en un papiro egipcio (derecha), que fue escrito bajo el reinado del rey hicso Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. C.  En él aparece el siguiente problema:

Tres veces me reduzco yo, un tercio de mí, un quinto de mí se me añade; vuelvo, estoy completo. ¿Cuál es el número que habla

 A'H MOSÉ, el escriba, El papiro de Rhind

Ver más imágenes del papiro de Rhind       

El papiro Rhind es conocido también como papiro de Ahmes. 
Henry Rhind fue el anticuario escocés que compró el papiro en 1858, y Ahmes el escriba que lo copió hacia el 1600 a. C.

 

 

Antiguos problemas, pero no viejos
(Seguramente seguirán existiendo cuando nosotros ya no estemos)

Problema del junco (Nueve capítulos, texto chino del siglo II a.C.)
    Crece en medio de una laguna circular de 3m de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm del agua. Cuando se inclina hasta que lo cubre el agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué profundidad tiene el agua?

Problema del bambú (texto hindú del siglo IX)
    "Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. ¿A qué altura se ha roto?"

Problema del collar (Lilavati, Bhaskara, siglo XII)
A pesar de tratarlo con amor, un collar se rompió; una sexta parte cayó al suelo, una quinta parte a la cama, el joven salvó un tercio de ellos y la décima parte fueron atrapados por su amante. Si quedaron seis perlas en el collar, ¿cuántas tenía originalmente?

Problema de las fuentes (Leonardo de Pisa, siglo XIII)
    Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40, están separadas 50 pasos. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pájaros que están en las almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A qué distancia de las torres se encuentra la fuente?

Problema (Nicolás Chuquet, siglo XV)
    Para lograr que su hijo se interese por el estudio de la aritmética el padre le ofrece lo siguiente: le pagará 8 céntimos por cada problema que resuelva bien y le cobrará 5 céntimos por cada uno que esté mal resuelto. Al final de 26 problemas ninguno de los dos le debe dinero al otro. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente el hijo?

Problema (Claude Bachet, siglo XVII)
    Toma las sotas, caballos, reyes y ases de una baraja y colocalos formando un cuadrado de 4x4 de manera que en ninguna fila, columna o diagonal haya dos cartas del mismo valor o del mismo palo.

 

 

El papiro de Ahmes, problema 79:
   
"Tenemos siete casas, que contienen siete gatos cada una. Cada gato mata siete ratones que se habían comido siete espigas de trigo por cabeza. Cada espiga había producido siete hekats de grano. ¿Cuántas unidades tenemos de cada cosa?

Liber Abaci (Leonardo de Pisa, siglo XIII):
    "Siete viejas van a Roma; cada vieja tiene siete mulas; cada mula lleva siete sacos; cada saco contiene siete hogazas de pan; con cada hogaza van siete cuchillos, y cada cuchillo tiene siete hojas."

Un breve poema del siglo XVIII  dice así: "Cuando iba de camino a Saint Ives, encontré a un hombre con siete esposas; cada esposa tenía siete sacos, cada saco tenía siete gatos, cada gato tenía siete gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas, ¿cuántos iban a Saint Ives?

¿Casualidad?

 


 

A continuación, una lista de problemas para entretenerte y desarrollar tu ingenio.

 

 

El problema de los consecutivos no vecinos (animación flash)

¿Cómo adivina el adivino? (animación flash)

Cubix: completa el puzzle (animación flash)


 

Pasatiempos lógicos

Primer misterio: Alicia y el día de la semana

Alicia, tras atravesar el espejo, se encuentra vagabundeando por el Bosque del Olvido, donde es incapaz de recordar qué día de la semana es. En el bosque viven el León y el Unicornio. El León miente los lunes, martes y miércoles. El Unicornio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones, ambos personajes dicen siempre la verdad. Alicia les pregunta y el León dice: "ayer me tocó mentir", mientras que el Unicornio asegura: "a mí también me tocó mentir ayer". ¿Qué día de la semana es hoy?

Caballeros y escuderos

En este país habitan dos tipos de personas. Los caballeros siempre dicen la verdad pero los escuderos mienten siempre.

Tenemos tres personas A, B, C, cada una es o caballero o escudero. Dicen:
A: Todos nosotros somos escuderos.
B: Uno de nosotros y sólo uno es caballero.
¿qué dirías de sobre A, B y C? ¿son caballeros o escuderos?

¿Y qué dirías ahora si A dice lo mismo y B dice "Uno de nosotros y sólo uno es escudero"?

 

Elaborando el padrón

Una vez, el señor McGregor, el empadronador, decidió visitar la isla para visitar solamente a los matrimonios. En tal visita, le surgieron los siguientes problemas que esperamos le ayuden a resolver.

Problema 1: McGregor llamó a una puerta; el marido la abrió a medias y le preguntó a McGergor qué deseaba.
- Hago un censo - respondió McGregor -, y necesito información sobre usted y su esposa. ¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero, y cuál, si alguno lo es, es un bribón?
- ¡Ambos somos bribones! – dijo el marido enojado mientras cerraba la puerta de un golpe.
¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer?

Problema 2: En la siguiente casa, McGregor le preguntó al marido: - ¿Ambos son bribones? 
– El marido respondió: - Por lo menos uno de nosotros lo es.
¿De qué clase es cada uno?

Problema 3: La siguiente casa que visitó McGregor resultó un mayor enigma. Un hombre algo introvertido abrió la puerta tímidamente. Cuando McGregor le pidió que dijera algo sobre sí mismo y su esposa, lo único que dijo el esposo fue: 
- Si soy un caballero, entonces también lo es mi esposa.
McGregor se fue no muy complacido. - ¿Cómo puedo deducir algo sobre alguno de los dos a partir de una respuesta tan evasiva? – pensó. Estaba a punto de escribir "Marido y Mujer ambos desconocidos", cuando recordó súbitamente una vieja lección de sus días de estudiante. Por supuesto que – se dio cuenta -, puedo determinar de qué clase son ambos.
¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer?

 

Más viñetas aquí

 

Spock y los tripartitos (I)

Cierta vez Spock, el viajero espacial estudioso de la lógica, llegó al planeta de los tripartitos. En este planeta hay tres grupos de nativos, por un lado están los veraces, que sólo hacen afirmaciones verdaderas; por otro lado están los mentirosos, que sólo hacen afirmaciones falsas. El tercer grupo está formado por los paradójicos, que sólo hacen afirmaciones que ni un veraz ni un mentiroso podría hacer.

Por ejemplo, si un nativo dice "soy mentiroso" entonces es un paradójico, y pertenece en especial al subgrupo de los paradójicos mentirosos. Si un nativo dice "soy paradójico" entonces pertenece al grupo de los mentirosos. No puede ser un paradójico pues está haciendo una afirmación que un mentiroso puede hacer.

En su primer día en este planeta Spock se encontró con un nativo que le dijo: "Soy mentiroso o paradójico".

¿A qué grupo pertenecía el nativo?

 

Enigma policial

        Unos policías están investigando a un grupo de delincuentes que se reúnen en un local bien custodiado. Los policías deciden infiltrar a un agente para conseguir pruebas y detenerlos. Vigilando la entrada a la guarida descubren que existe una contraseña que permite a los ladrones identificarse. Cuando alguien quiere entrar, desde el interior dicen un número. "18". El visitante contesta: "9". La puerta se abre y entra. Otro visitante llega y escucha que desde el interior le dicen: "8". Él contesta: "4". Y la puerta se abre nuevamente.

        Los policías dicen: ¡ya está! Se trata de contestar la mitad del número que se dice desde el interior. Se acerca el agente García y escucha "0". Un poco desconcertado contesta: "0". Pero tras esperar unos minutos y no abrirse la puerta decide retirarse y seguir observando. Un poco después un nuevo visitante escucha "14"; contesta "7" y entra. Ahora no hay duda, García se acerca de nuevo a la puerta y tras escuchar "6" y contestar "3", pero la puerta no se abre y tienen que marcharse aburridos.

¿Podrías ayudar a los policías explicándoles cuál es la verdadera contraseña?

 

Traducción finita

Se cuenta que cuando el matemático inglés J. E. Littlewood escribió un libro sobre cálculo infinitesimal ocurrió ésta historia:

El libro fue traducido al francés por el catedrático (también francés por supuesto) Ries. En la versión traducida había una nota de agradecimiento de Littlewood: "Agradezco al profesor Ries la traducción de éste libro"

Pero resulta que esta nota también fue traducida al francés por Ries y, claro está, Littlewood se vio obligado a escribir una segunda nota: "Agradezco al profesor Ries la traducción de la nota superior"

Pero como Ries, un buen traductor, también había traducido ésta nota al francés, tuvo que darle Littlewood las gracias a Ries de nuevo: "Agradezco al profesor Ries la traducción de la nota superior"

Y así hubiese seguido hasta el fin de los tiempos (y Littlewood no hubiese vendido ni un ejemplar y Ries se hubiese hecho rico). Pues no.

Littlewood tuvo una idea para parar esta serie de agradecimientos infinitos después de la tercera nota. ¿Cuál fue?

 

Demostración de que soy millonario

Los mismos cuatro trozos en el cuadrado de la izquierda y en el rectángulo de la derecha. A la izquierda 8·8 y a la derecha 13·5. Es decir, 8·8 = 13·5 implica 64 = 65. Ahora resto 64 de cada miembro de la igualdad con lo que obtengo 0 = 1. Multiplicando los dos miembros por 999.999 obtengo 999.999 = 0. Sumando uno a cada miembro 1.000.000 = 1.

Y ahora viene lo mejor. Como tengo 1€ en el bolsillo y 1 = 1.000.000, entonces tengo 1.000.000€ en el bolsillo y, por lo tanto, soy millonario. Hacedlo vosotros y seréis tan ricos como yo. ¡Ojo! Necesitaréis comprar antes unos pantalones que tengan unos buenos bolsillos  >:-)

 

Filosofando: ¿qué es mejor?

¿Qué es mejor, la felicidad eterna o un bocadillo de jamón? Podría parecer que la felicidad eterna es mejor, ¡pero esto no es realmente así! Después de todo, nada es mejor que la felicidad eterna, y un bocadillo de jamón es ciertamente mejor que nada. Por lo tanto un bocadillo de jamón es mejor que la felicidad eterna.

La fuerza de la lógica

Este silogismo de Raymond Smullyan es uno de mis favoritos. No me extraña que mi coche vaya siempre tan mal.

Algunos coches traquetean,
Mi coche es algún coche,
Luego, no es extraño que mi coche traquetee.

La verdad es que es una inspiración. Se me ocurre otro que me puede solucionar muchos problemas.

Algunos hombres (aunque sean pocos) ganan más de 30.000 euros al mes.
Yo soy algún hombre.
Luego, soy de los pocos hombres que ganan más de 30.000 euros.

Con este sueldo pronto iré a comprarme otro coche. Pero, ¿para qué?

Filosofando: Dios existe

    Tomemos como punto de partida la frase: "Dios existe o esta frase es falsa.". 

    La frase es una disyunción, formada por dos partes; la parte p1 es "Dios existe"; la parte p2 es "esta frase es falsa"; la frase completa es "p1 ó p2", donde ó simboliza la disyunción. 

    La frase es cierta cuando p1 ó p2 (o ambas) lo son; es falsa cuando p1 y p2 (ambas) lo son. 

    Supongamos que la frase es falsa; en ese caso p1 y p2 deben ser falsas; pero p2 es "esta frase es falsa", que resultaría cierta; por lo tanto, la frase no puede ser falsa. 

    En consecuencia debe ser verdadera; en ese caso p1 ó p2 deben ser verdaderas; pero p2 es "esta frase es falsa", que resulta una afirmación falsa; al ser p2 falsa, siendo la frase completa verdadera, debe ser p1 cierta; es decir, Dios existe.

 

 


 

Problemas para principiantes

    1.- ¿Qué número de dos cifras es tal que el producto de ellas es el doble de la suma?

    2.- Si 6 vacas comen 6 hectáreas de hierba en seis días, ¿cuántas hectáreas comen 12 vacas en 12 días?

    3.- Si 6 gatos cazan 6 ratones en 3 minutos, ¿cuánto tardan 100 gatos en cazar 100 ratones?

    4.- Tenemos 27 bolas aparentemente iguales, pero hay una que pesa más que las otras. Si disponemos de una balanza de dos brazos y tenemos que determinar cuál es la bola más pesada, ¿cuál es el mínimo número de pesadas que tendremos que hacer?

    5.- Si yo te doy una naranja, tendrás el doble que yo. Pero si tu me la das a mí tendremos la misma cantidad.¿Cuántas naranjas tenemos cada uno?

    6.- El harén de Saladino está guardado por una puerta de muchos candados. Las llaves están repartidas de tal modo que el Gran Visir sólo puede abrir la puerta, si va acompañado de uno de los cuatro eunucos, y éstos sólo la pueden abrir si van en grupos de tres. ¿Cuántos candados guardan el gran harén? 

    7.- Una esfera pesa 40 kg. Se la coloca suavemente dentro de un cilindro lleno de agua en el cual entra exactamente. Después de esta operación, el cilindro y su contenido pesan 20 kg más. ¿Cuál es el volumen del cilindro? ¿Cuál es la densidad de la esfera?

    8.- Han robado un collar de diamantes en una joyería y aunque hay tres sospechosos, Juan, Pablo y Miguel, se sabe que sólo uno es el ladrón. Al ser interrogados, Juan dice: "Yo no he sido. El collar lo ha robado Miguel". No sabemos lo que declararon los otros dos, pero estamos seguros de que, de los tres, sólo uno dijo la verdad, y ese es precisamente el culpable. ¿Quién robó el collar? 

    9.- Encontrar todos los números de dos cifras tales que el producto de ellas sea el doble de su suma.

    10.- Utilizando cuatro cuatros y las operaciones de suma, resta multiplicación, división y raíz cuadrada, obtener todos los números naturales posibles. (ej. 1 = 44/44 ; 2 = 4/4 + 4/4 ; etc.). 

    11.- Durante una terrible batalla medieval, el 85 % de los combatientes perdió una oreja, el 80 % un ojo, el 75 % un brazo y el 70 % una pierna. ¿Cuál es el porcentaje mínimo de los que perdieron a la vez una oreja, un ojo, un brazo y una pierna? ¿Y el máximo?  

    12.- El otro día compré una calabaza que pesaba 3/4 de kilo más 3/4 de la calabaza. ¿Cuánto pesaba la calabaza?

    13.- Un viejo mendigo recoge cada día todas las colillas que encuentra en los ceniceros y por el suelo y luego usa el tabaco para liarse sus propios cigarrillos. Tiene mucha práctica y, de cada siete colillas, lía un nuevo cigarrillo. ¿Cuántos puede liar con 49 colillas?

    14.- En la familia Or y Ginal cada hija tiene el mismo número de hermanos que de hermanas y cada hijo dos veces más hermanas que hermanos. ¿Cuántos hermanos y hermanas son?

    15.- Víctor Tretas sólo tenía 14 euros y necesitaba 20 para coger un taxi y volver a casa. Así que entró en una casa de empeños y dejó sus 14 euros en prenda, a cambio de 10 euros. Después fue a ver a su amigo David Embrague y le convenció para que le comprase la papeleta de empeño de los 14 euros por otros 10 euros. Víctor había conseguido el dinero para regresar cómodamente a su casa, pero ¿quién y por qué tenía 6 euros menos?

   16.- Antonio y Beatriz son atletas y entrenan en un circuito circular. Empiezan a correr en el mismo momento y desde el mismo punto, Antonio en el sentido de las agujas del reloj y Beatriz en el sentido opuesto. Justo al mediodía vuelven a coincidir en el punto de inicio: Antonio lleva hechas 11 vueltas completas y Beatriz lleva hechas 7 vueltas completas. ¿Cuántas veces se cruzaron?

   17.- Tenemos un número de 3 cifras. Si quitamos la primera, hemos dividido el número entre 5. Si quitamos la segunda, lo volvemos a dividir entre cinco. ¿Cuál era el número?

    18.- ¿Cuántos cuadrados puedes encontrar en un tablero de ajedrez?   ( La respuesta no es 64 )

 

19.- Encuentra los cuatro caracteres que siguen en esta secuencia: 1QAZ - 2WSX - 3EDC - 4RFV - ????

 

Problemas para iniciados

    1.- En un pasillo de un instituto hay 50 taquillas cerradas. A la hora de salir 50 alumnos pasan por ese pasillo. El primero de ellos abre todas las taquillas. El segundo cierra las número 2, 4, 6, 8, ... El tercero cambia de posición la 3, 6, 9, 12, ... ( la abre si está cerrada o la cierra si está abierta ). El cuarto cambia de posición la 4, 8, 12, 16, ... Después de pasar los 50, ¿qué taquillas quedarán abiertas?

     2.- Tres estudiantes, Antonio, Berta y Carlos, participan en una serie de exámenes. En cada prueba, el que queda primero recibe x puntos, el segundo recibe y puntos, y el tercero z puntos, donde x, y, z, son números enteros mayores que cero tales que x > y > z. No hay empates.
En total, Antonio acumuló 20 puntos, Berta 10 puntos y Carlos 9 puntos. Antonio quedó el segundo en el examen de Álgebra. ¿Quién quedó segundo en el examen de geometría?.

    3.- Se define U(n) = 111...11 ( n unos ). Demostrar que si x es coprimo con 30, entonces x divide a U(n) para infinitos valores de n.

    4.- El espía etíope dijo: "La clave de toda la operación es saber cuáles son esos dos números". El espía ruso dice: "Yo sólo conozco la suma de esos dos números". "Yo, su producto", dijo James Bond (agente 007). El etíope dijo: "Sólo sé que esos dos números son menores que 25 y que su producto está comprendido entre 31 y 41". Al oír esto el agente 007 dijo al ruso: "Yo puedo conocer tu suma, pero tú no puedes saber mi producto". El ruso le contestó: "Si tú sabes mi suma, yo acabo de averiguar cuáles son esos dos malditos números". El agente etíope se marchó, renegando de los espías rusos e ingleses. ¿Qué números eran? ¿Cómo los dedujeron? 

    5.- Encontrar tres enteros positivos consecutivos cuyo producto sea un cuadrado.

    6.- En la Edad Media se construyó un fabuloso monasterio en torno a un claustro, con forma cuadrada. Dentro de este claustro había un pozo del cual sacaban agua los monjes, un agua cristalina y con propiedades medicinales. El pozo estaba situado en un punto tal que las respectivas distancias a tres esquinas consecutivas eran 30, 40 y 50 m. Este claustro actualmente está casi derruido, pero aún se conserva el pozo. ¿Sabrían decirme cuáles eran sus dimensiones?

    7.- Los números del 1 al 10 se distribuyen aleatoriamente alrededor de una circunferencia. Demostrar que existen tres números consecutivos cuya suma es por lo menos 17.

    8.- Demostrar que si tomamos n2+1 puntos en el interior de un triangulo equilátero de lado 1 existen al menos dos puntos que están como mucho a una distancia de 1/n.

    9.- Con una moneda perfecta, podemos simular un experimento (de Bernouilli) con probabilidad de éxito 1/2. Además, si lanzamos dos monedas, y llamamos éxito a sacar dos caras, podemos simular un experimento con probabilidad de éxito 1/4. ¿Cómo se podría usar la moneda (tirando cuantas veces hagan falta) para generar un experimento con probabilidad de éxito un número racional, es decir, p/q, con p, q enteros?. Aún más, ¿cómo podríamos generar un experimento con probabilidad de éxito 1/pi, o en general, cualquier número irracional?. 

    10.- Se toman al azar tres puntos de una circunferencia. ¿Qué probabilidad hay de que estén en un mismo arco de 90º?

    11.- Variaciones sobre la serie armónica: Sea Z' el subconjunto de los naturales, que no tienen la cifra cero en su expresión decimal .. y sea Z* el conjunto cuyos elementos son los inversos de los elementos de Z'. Probar que la suma de los elementos de Z* es una serie convergente.

    12.- Sea S=1!*2!*3!*4!* ... *99!*100! (el producto de los primeros cien factoriales).¿Cuál de estos factoriales debemos de eliminar para obtener un cuadrado perfecto? 

    13.- En un circulo se inscribe un hexágono cuyos lados valen alternativamente a y b unidades de longitud.¿Cuánto vale el radio del círculo?.

    14.- En un almacén de 30 metros de longitud, 12 de ancho y 12 de alto hay una araña en el centro de una de las paredes menores a un metro del suelo. En la pared opuesta hay una mosca, también en el centro, pero a un metro del techo. ¿Cuál es el camino más corto que debe de recorrer la araña para comerse la mosca?

    15.- Romeo y Julieta se dan cita cada día en el jardín del pueblo. Ambos llegan entre las 17:00 h y las 17:45 h, de manera equiprobable e independiente. Permanecen allí un cuarto de hora, después de lo cual si no se han encontrado con el otro se marchan.  ¿Su probabilidad de encontrarse es mayor o menor que 1/2?.

    16.- Sean 2A, 2B y 2C los tres ángulos de un triángulo. Demostrar:
            a) sen(A)*sen(B)*sen(C) < 1/4
            b) sen(A)*sen(B)*sen(C) <= 1/8

    17.- En un juego de dados, uno de los jugadores lanza seis dados y tiene que sacar al menos un uno. El otro jugador lanza doce dados, pero tiene que sacar al menos dos unos. ¿qué jugador tiene más probabilidades de ganar?

    18.- Una bandada de gorriones entra en un pequeño pueblo. Si cada gorrión se para en una antena, quedan "n" gorriones volando. Si sobre cada antena se posan "n" gorriones, quedan "n" antenas libres. ¿Cuántos gorriones y cuántas antenas hay? 

    19.- Demostrar que cualquier entero puede ser expresado de la forma x2 + y2 - z2, donde x, y, z son enteros.

    20.- Criptograma: Encontrar el número ABCDE sabiendo que ABCDE × 4 = EDCBA.

    21.- En la isla de Camalot viven camaleones de tres colores. En este momento hay 13 verdes, 15 azules y 17 rojos. Cuando se encuentran dos de diferente color, ambos cambian al tercer color. ¿De qué manera se tendrán que ir encontrando para que al final queden todos del mismo color. (ejemplo: si se encuentran un azul y un verde, ambos se convierten en rojos)

 

 

Problemas para expertos

     1.- Se define U(n) = 111...11 ( n unos ). Demostrar que si x es coprimo con 10, entonces x divide a U(n) para infinitos valores de n.

     2.- ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar el determinante de una matriz de orden n, cuyos elementos sean exclusivamente 1 y -1?. Intentar al menos los casos n=3 y n=4.

     3.- El abuelo de Evaristo, que no es centenario, tiene 63 años más que Evaristo, que es mayor de edad. Si la suma de las edades del abuelo y de Evaristo es igual a la suma de las cifras de sus edades multiplicada por un cierto número entero n, y si la diferencia de sus edades es igual a ese mismo número n multiplicado por la diferencia entre la suma de las cifras de la edad del abuelo y la suma de la cifras de la edad de Evaristo, ¿qué edad tiene Evaristo y qué edad tiene su abuelo?

     4.- Tenemos 12 bolas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso diferente (no sabemos si más o menos). Disponemos de una balanza y de tres pesadas para determinar cuál es la bola que pesa diferente, y si pesa más o menos.

    5.- Encontrar cuatro enteros positivos consecutivos cuyo producto sea un cuadrado.

    6.- Encontrar el número de pares de enteros positivos coprimos que suman 7250.

    7.- Una cabra está atada con una cuerda en el borde externo de un corral circular de 24 m de perímetro. La longitud de la cuerda es la mitad del perímetro del corral. ¿qué superficie de cuerda puede alcanzar la cabra?

    8.- ¿Pueden ser cuadrados perfectos tres números en progresión aritmética? Aunque en el primer momento pensé que no, un breve análisis me llevó a varias soluciones distintas, v. gr., {1,25,49}; {1,841,1681}. En ambos casos se trata de soluciones de la ecuación de Pell. Ahora vienen las preguntas: 
        a) ¿Cuál es la solución general? 
        b) ¿Pueden cuatro cuadrados perfectos estar en progresión aritmética? ¿Y cinco? 
        c) ¿Pueden tres cubos perfectos estar en progresión aritmética? 

    9.- Un lado de un triangulo mide 1 y el otro mide 2. Hallar el tercer lado de forma que el área del circulo inscrito sea máxima.

    10 .- Caracterizar TODAS las ternas (x, y, z) de números enteros tales que su suma y su producto sean números consecutivos.

    11.- Demostrar que cualquier entero puede ser expresado de la forma x2 + y2 - 5z2, donde x, y, z son enteros.

   12.- ¿Cuántas veces debemos lanzar un dado por término medio, para obtener los 6 resultados posibles?

    13.- Una cabra está atada con una cuerda en el borde externo de un corral circular de 24 m de perímetro. La longitud de la cuerda es la mitad del perímetro del corral. ¿sobre qué superficie puede pastar la cabra?

    14.- Resolver la ecuación diofántica  x3 + y5 + z7 = t8. (encontrar soluciones enteras y positivas)

    15.- Tomamos una circunferencia con centro en el origen de coordenadas O y radio r. Llamaremos A al punto donde la circunferencia corta al semieje positivo de ordenadas. Trazamos una tangente a la circunferencia por A. Ahora para cada punto M de la circunferencia tenemos asociado otro punto N en la recta tangente de forma que la longitud del segmento AN sea igual a la del arco AM. La recta MN corta a la recta AO en el punto B. 
Hallar el límite de OB cuando N -> A

    16.- Si tomamos la igualdad a+b*r(p)+ c*r(q)+d*r(p*q) = 0, con p y q números primos diferentes, demostrar que el hecho de que los coeficientes a, b, c, y d sean todos racionales, implica la anulación de los mismos.

 

 

Para colocar nuevos:

Es un problema de optimización de matemáticas, dice así:

Tenemos que encontrar la máxima longitud de una barra de hierro no flexible para que pase por aquí:

8 metros de amplada
|........|
|........|
|........|
|...\....|
|.....\..|
|.......\|___________________
|.........\..............................
|......... .\............................ <=27 metros de amplada
|.............\..........................
|...............\........................
|_________________________

Tenemos que encontrar la longitud máxima para que pueda pasar sin ningún problema. (las líneas diagonales son la barra de hierro.

A mí como solución me ha dado 49,49 metros,, me lo podríais confirmar por favor.

gracias

sErgi

 

 

Un tendero tiene una balanza de dos platos y 4 pesas distintas que le permiten pesar cualquier numero exacto de Kg. enter 1 y 40 ¿ Cuanto pesa cada una de las piezas? Alguien puede ayudarme a resolverlo. Gracias

POR PRESUMIR DE CERTERO

Anónimo

Por presumir de certero
un tirador atrevido
se encontró comprometido
en el lance que os refiero:

Y fue, que ante una caseta
de la feria del lugar
presumió de no fallar
ni un tiro con la escopeta.

El feriante, alzando el gallo,
un duro ofreció pagarle
por cada acierto y cobrarle
a tres pesetas el fallo.

Dieciséis veces tiró
el tirador afamado
al fin dijo, despechado
por los tiros que falló:

"Mala escopeta fue el cebo
y la causa de mi afrenta
pero ajustada la cuenta
ni me debes ni te debo"

Y todo el que atentamente
este relato siguió
podrá decir fácilmente
cuántos tiros acertó.


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