Los problemas del milenio del Instituto Clay

Hay concursos y concursos. Hay problemas y problemas.
Y, claro, hay premios y premios...

El millonario y hombre de negocios estadounidense Landon T. Clay y su esposa Lavinia D. Clay fundaron el Instituto Clay de Matemáticas (CMI) en 1998. Para su establecimiento donaron gran parte de su fortuna. El objetivo del Instituto es incrementar y difundir el conocimiento de las matemáticas. Entre sus actividades se encuentran el apoyo a investigadores matemáticos en sus investigaciones, programas para promover el desarrollo de las vocaciones de jóvenes con talento en el campo de las matemáticas y, sin duda, la actividad por la que se ha hecho famoso el Instituto: el concurso de los Problemas del Milenio. El 24 de Mayo del año 2000 el Instituto Clay de Matemáticas, con sede en Cambridge, EE.UU., aprovechó un congreso científico en París para lanzar el anuncio de siete premios de un millón de dólares cada uno por la resolución de otros tantos problemas matemáticos. Los problemas en cuestión fueron elegidos por un comité de expertos nombrado para la ocasión y pretende incluir los retos más importantes que se abren ante los matemáticos del siglo que comienza.

La lista contiene representación de todas las grandes áreas de la matemática: álgebra, geometría, teoría de números, análisis, física matemática,... Pero también es sintomática la presencia de un problema que habría que catalogar más como de informática teórica que como de matemáticas: el problema de "P versus NP" cuya resolución (si es en el sentido P=NP) pondría en entredicho nuestras ideas de qué es un buen o un mal algoritmo, o de qué es un problema fácil o difícil de resolver por ordenador.

Algunos de los problemas llevan abiertos cien años o más, como la la hipótesis de Riemann o la conjetura de Poincaré, formuladas por las personas que les dan nombre en 1857 y 1904 respectivamente. Otros, sólo una treintena, como el de "P versus NP", formulado en 1971.

Por supuesto, los siete problemas son extremadamente difíciles... si no fuera así el premio no sería tan fabuloso. Pero el criterio para la confección de la lista no fue sólo la dificultad sino también la relevancia que los problemas tienen dentro del panorama de las matemáticas actuales. Por tanto, aunque con precauciones, podemos tomar la lista como representativa de los temas centrales de la investigación matemática actual.

La elección del año 2000 para el lanzamiento de este proyecto no es casual. Aparte del valor simbólico de la fecha como cambio de siglo y de milenio, la UNESCO había declaro ese año como "Año Mundial de las Matemáticas". Además, y quizá esto es lo más importante, exactamente cien años antes David Hilbert había enunciado en el Congreso Internacional de Matemáticos (y también en París) su famosa lista de 23 problemas "para los matemáticos futuros", a la que los "problemas del milenio" del Instituto Clay pretenden emular. Algunos de los problemas de Hilbert continuan sin tener hoy día una solución satisfactoria (de hecho, la hipótesis de Riemann estaba ya en la lista de Hilbert). ¿Ocurrirá lo mismo dentro de cien años con los problemas de esta lista?

Es también interesante estudiar qué se considera (es decir, qué considera el Instituto Clay) una solución válida. Algunos de los problemas han sido "resueltos" varias veces a lo largo de su historia, o al menos así lo han creido los autores de las supuestas soluciones y, en algunos casos, la mayoría de sus contemporáneos. Por ejemplo, el primer matemático en "resolver" la conjetura de Poincaré fue el propio Poincaré en 1900, o sea cuatro años antes de formularla como conjetura al darse cuenta de su error. Para evitar este tipo de falsas soluciones, las normas del "concurso" son muy específicas:

Before consideration, a proposed solution must be published in a refereed mathematics journal of world wide repute, and it must also have general acceptance in the mathematics community two years after. Following this two-year waiting period, the SAB [Scientific Advisory Board] will decide whether a solution merits detailed consideration. In the affirmative case, the SAB will constitute a special advisory committee, which will include at least one SAB member and at least two non-SAB members who are experts in the area of the problem. The SAB will seek advice to determine potential non-SAB members who are unbiased, internationally-recognized mathematical experts in the area of the problem. As part of this procedure, each proposed solution under consideration must be verified by one or more members of this special advisory committee.

The special advisory committee will report within a reasonable time to the SAB. Based on this report and possible further investigation, the SAB will make a recommendation to the Directors. The SAB may recommend the award of a prize to one person. The SAB may recommend that a particular prize be divided among multiple solvers of a problem or their heirs. The SAB will pay special attention to the question of whether a prize solution depends crucially on insights published prior to the solution under consideration. The SAB may (but need not) recommend recognition of such prior work in the prize citation, and it may (but need not) recommend the inclusion of the author of prior work in the award.

En resumen, hay cuatro cribas que una solución debe pasar: uno, ser publicada en una revista de prestigio mundial, para lo cual han de aceptarla los recensores habituales de la misma; dos, tener "aceptación general" dos años después de su publicación; tres, poseer el visto bueno del comité científico del Instituto Clay y cuatro, obtener el visto bueno de un segundo comité más especializado que se creará expresamente para estudiar esa solución.

He aquí, en fin, la lista de problemas, cada uno con un pequeño comentario sobre el mismo. Tras cada problema incluimos un enlace a su "formulación oficial": un artículo más técnico que puede ir desde unas cinco hasta unas 20 páginas y que explica el contexto, historia y enunciado preciso del problema. Todos están escritos por matemáticos del máximo prestigio y expertos en el tema concreto del que se trata: Cook, Deligne, Milnor, Bombieri, Jaffe, Witten, Fefferman y Wiles (cinco de ellos han recibido la medalla Fields, máximo galardón existente en Matemáticas).

Puedes encontrar más información en las páginas oficiales del "concurso". Esta otra página también contiene breves descripciones de los problemas, escritas por un físico matemático.

 


 

1. "P frente a NP"

Todos sabemos que hay problemas (matemáticos o no) en los que es mucho mas difícil encontrar una solución que comprobar si una solución es correcta. El problema "P versus NP" pide ni más ni menos demostrar (o refutar) esa afirmación tan evidente.

Seamos un poco más precisos. En informática teórica se llama "problema" a algo que a cada input asocia un output de manera bien definida (por ejemplo, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sería "un problema"; el output puede ser una solución o todo un conjunto de ellas, pero está bien definido). Los problemas se clasifican en diferentes "clases de complejidad" según lo fácil o difícil que sea resolverlos. Los problemas P ("polinómicos") son los que se pueden resolver en un tiempo razonable y los problemas NP ("polinómicos en sentido no determinista") aquéllos en los que se puede al menos comprobar en un tiempo razonable que una solución es correcta. Tiempo razonable significa aquí "un número de pasos acotado por una función polinómica del tamaño del input".

Por supuesto, todo problema P es también NP. Pero nadie sabe si hay algún problema NP que no sea P (se espera que los haya). La pregunta de si P=NP fue formulada en 1971 por Stephen Cook, autor del artículo oficial sobre este problema, y Leonid Levin.

El asunto tiene su importancia práctica. Los sistemas criptográficos de clave pública que todos usamos hoy en día (en Internet, por ejemplo) se basan en que tu ordenador (cuando envía un número de tarjeta de crédito a una tienda, pongamos por caso) pueda codificar mensajes utilizando para ello una clave pública y que el receptor (que es quien te ha mandado la clave pública) los pueda descifrar con una clave privada que sólo él conoce. Pero para que el método sea práctico, el creador de las claves debe ser capaz de construir la clave pública a partir de la privada en tiempo P, lo cual significa que reconstruir la privada a partir de la pública es un problema NP. Si resultara que P y NP son lo mismo, entonces cualquier tercero que intercepte el mensaje y la clave pública puede también descifrarlo en tiempo P. Así que tendríamos que inventar algo nuevo, porque un sistema en el que cuesta lo mismo codificar que romper el código es inútil.

Official Problem Description authored by Stephen Cook


2. La conjetura de Hodge.

Este es probablemente el problema más difícil de enunciar en términos que no sean demasiado técnicos.

La geometría algebraica es el estudio de los conjuntos algebraicos, es decir, los lugares geométricos que se pueden definir por medio de polinomios (por ejemplo, circunferencias, parábolas, etc; no así una trayectoria sinusoidal, que requiere el uso de funciones trigonométricas para ser descrita). Pero con el tiempo, los matemáticos han ido abstrayendo propiedades de tales conjuntos y aplicándoselas a cosas que no tienen una interpretación geométrica. Una de tales cosas es lo que se conoce como un "ciclo de Hodge" (para los entendidos, se trata de las (p,p)-formas racionales de la cohomología de de Rham de una variadad algebraica proyectiva no-singular). La conjetura de Hodge es que todo ciclo de Hodge es combinación racional de ciclos algebraicos, es decir de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas.

Official Problem Description authored by Pierre Deligne


3. La conjetura de Poincaré.

La superficie de una esfera es "simplemente conexa", lo cual quiere decir que si hacemos un "nudo corredizo" sobre la misma y tiramos de él, el nudo terminará contrayéndose a un punto de la esfera sin necesidad de romper ni la esfera ni la cuerda. La superficie de una rosquilla no tiene esa propiedad.

Desde tiempo anterior a Poincaré los matemáticos saben que la superficie de la esfera es, de hecho, la única superficie cerrada (es decir, sin límites) y simplemente conexa. La conjetura de Poincaré es que lo mismo ocurre para objetos de dimensión 3. En términos más precisos, que "toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa (para entendernos, equivalente) a la esfera de dimensión tres". Lo sorprendente es que en todas las dimensiones mayores que tres se conoce que la afirmación es cierta.

Official Problem Description authored by John Milnor


4. La hipótesis de Riemann.

Los números primos han fascinado a los matemáticos desde siempre. A comienzos del siglo XIX Gauss y Legendre conjeturaron que el número de primos entre 1 y n, es más o menos igual a n/log(n). Dicho de otro modo, que la probabilidad de que un número muy grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional al número de cifras del mismo. Esta aproximación, hoy conocida simplemente como el Teorema de los Números Primos, fue demostrada al final del mismo siglo por Hadamard y de la Vallée Pousin.

La demostración sigue ideas que Riemann propuso en 1851 pero cuyos detalles no pudo completar por falta de herramientas técnicas (el análisis complejo no estaba suficientemente desarrollado). Lo que Riemann observó es que la distribución de los números primos está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada "función zeta de Riemann", que es la única extensión "natural" ("holomorfa" es la palabra técnica) a los números complejos de la función zeta de Euler:

 

Esta función tiene dos tipos de ceros: los ceros "triviales" que son todos los números enteros pares y negativos y los ceros "no triviales", cuya parte real está siempre entre 0 y 1. La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros "no triviales" tienen como parte real 1/2. La hipótesis implicaría por ejemplo que la aproximación dada por el Teorema de los Números Primos es mejor de lo que ha sido posible demostrar hasta ahora.

La Hipótesis de Riemann es también uno de los problemas de la lista de Hilbert. Ha sido verificada para los primeros 1500 millones de ceros... pero el número de ceros es infinito.

Official Problem Description authored by Enrico Bombieri

Otra página sobre la hipótesis de Riemann


5. Existencia y "mass gap" en la Teoría de Yang-Mills.

Este es un problema para los físicos; o de los físicos. Lo que se pide es un modelo matemático que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o "Teoría gauge no-abeliana".

En física se reconocen cuatro tipos fundamentales de interacciones entre partículas, que gobiernan todos los procesos conocidos. La fuerza gravitatoria, la fuerza electromagnética y los dos tipos de fuerzas nucleares, "fuertes" y "débiles". La fuerza gravitatoria no tiene efectos apreciables en el mundo atómico y además es conceptualmente difícil de compatibilizar con los postulados de la mecánica cuántica. Por tanto se excluye de manera explícita en el llamado "modelo estándar" de la física de partículas.

Las ecuaciones de Yang y Mills, introducidas en 1954, son en pocas palabras una generalización no conmutativa de la electrodinámica cuántica (QED), la cual a su vez es la versión cuantizada de la teoría electromagnética clásica de Maxwell. La QED es la teoría que modeliza las interacciones electromagnéticas en el contexto cuántico, y ya estaba ampliamente asentada y aceptada en los años 50. Esencialmente, las ecuaciones de Yang-Mills se reducen a la QED cuando las partículas portadoras del campo no tienen masa (como es el caso de los fotones, portadores de la energía elcetromagnética) y difieren de la QED sólo cuando los portadores tienen masa (como es el caso de los bosones W y Z, unas 100 veces más pesados que protones y neutrones, y portadores de las fuerzas nucleares débiles). En este sentido, la teoría de Yang-mills es una pieza clave en la unificación de la QED con la teoría de las interacciones débiles: la llamada teoría electrodébil formulada en 1968, que valió el premio Nobel de Física de 1979 a sus creadores, Sheldon Glashow, Abdul Salam y Steven Weinberg. Hay que aclarar que la existencia de los bosones W y Z y el valor de su masa no fueron explicados sino predichos por la teoría electrodébil, y no detectados experimentalmente hasta los años 80. Uno de los problemas más importantes en física de partículas es encontrar una teoría que unifique de manera satisfactoria la teoría electrodébil y la "cromo-dinámica cuántica" que regula las interacciones fuertes.

El reto que plantea el Instituto Clay puede tener relación con esta futura teoría unificada, aunque se plantea como un problema puramente matemático. Explicado de manera imprecisa, se pide "avanzar en el conocimiento matemático de la Teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro". En términos más precisos, se pide demostrar que para todo grupo simple compacto G, hay una Teoría de Yang-Mills en R4 que tiene a ese grupo como grupo gauge y que además, esa teoría tiene una "brecha de masa" (mass gap). La brecha de masa significa que no puede haber excitaciones con energía arbitrariamente pequeña sino que hay un valor mínimo D >0 para las mismas. Es una propiedad fundamental en el contexto físico. Explica, por ejemplo, por qué las interacciones fuertes, aún siendo las más fuertes de la naturaleza, son las de más corto alcance.

Official Problem Description authored by Arthur Jaffe and Edward Witten


6. Las ecuaciones de Navier-Stokes.

Otro problema relacionado con la física, aunque es un problema de análisis (más concretamente, de ecuaciones diferenciales).

Las ecuaciones de Navier-Stokes, formuladas por Navier en 1822 y Stokes en 1842, modelizan el movimiento de los fluidos incompresibles. Pero la existencia de soluciones a las mismas (en dimensión tres) sólo está demostrada bajo ciertas restricciones a las condiciones iniciales. Se pide aquí que se demuestre la existencia de soluciones diferenciables para cualquier valor físicamente aceptable de las condiciones iniciales.

Official Problem Description authored by Charles Fefferman


7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

Se trata de un problema de geometría algebraica pasada por el tamiz de la teoría de números. Geometría algebraica porque tiene que ver con curvas algebraicas: conjuntos de soluciones de un polinomio f(x,y) en dos variables. Teoría de números porque se pide estudiar las soluciones racionales de las mismas (y los coeficientes del polinomio son también racionales).

Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales. Estas tienen o bien ninguna o bien infinitas soluciones racionales y el criterio para distinguir unas de otras fue establecido en 1890 por Hilbert y Hurwitz. Por ejemplo, de las dos siguientes ecuaciones una tiene infinitas soluciones racionales y la otra ninguna (demuéstralo!):

x 2 + y 2 = 1.

x 2 + y 2 = 3.

Para las de género dos o más, Faltings demostró en 1983 que el número de soluciones racionales es siempre finito. Eso implica, por cierto, que la ecuación de Fermat

x n + y n = 1

tiene un número finito de soluciones racionales para cada número natural n>2. (El famoso Último Teorema de Fermat, enunciado por Fermat en el siglo XVII y demostrado por Wiles en 1994, afirma que ese número es dos si n es impar y cuatro si n es par...)

Queda por tanto por demostrar un criterio que distinga qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen infinitas soluciones racionales y cuáles tienen un número finito. Y decimos demostrar, porque "conocerse" se conoce. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona el carácter infinito o finito del número de soluciones racionales de una curva algebraica elíptica C con que se anule o no en s=1 cierta función zC(s) definida de un modo parecido al de la función zeta de Riemann.

Official Problem Description authored by Andrew Wiles

 

Copiado de http://www.matesco.unican.es/maurica/2002/millenium.html