Teorema de Ceva

Sean X, Y, Z tres puntos cualesquiera de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede del matemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:

Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes, entonces 

Demostración del teorema

La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ se cortan en un punto P. Denotamos por (ABX) el área del triángulo determinado por esos tres puntos.

Entonces

De la misma forma, se obtiene que 

Multiplicando,

El recíproco del teorema de Ceva es cierto también. Es decir, se cumple que si 

entonces las tres cevianas son concurrentes.

El teorema Ceva, un teorema de concurrencia, tiene un correspondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao. Este teorema dice lo siguiente,

        Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

Fuente: http://garciacapitan.auna.com/bella/htm/ceva.htm

Programa interactivo en Java: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/Recaula/Geometria/menelao.htm